Zusammenfassung
Richtungen beeinflussen das Produkt
Das Ergebnis einer Skalarproduktberechnung hängt sehr stark von den Richtungen der beiden miteinander multiplizierten Vektoren ab.
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Der folgende Satz besagt, dass nur der projizierte Anteil bei einer Skalarproduktberechnung eine Rolle spielt.
Satz:
Für das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt (im 2D-Fall und im 3D-Fall):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b_{\parallel}} = \vec{a_{\parallel}} \cdot \vec{b}$
Die Vektoren $\vec{a_{\parallel}}$ bzw. $\vec{b_{\parallel}}$ erhält man durch eine orthogonale Projektion auf den jeweils anderen Vektor.
Mit der Kosinusfunktion lässt sich dieser Zusammenhang auch wie folgt darstellen:
Satz:
Für das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt (im 2D-Fall und im 3D-Fall):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha)$.
Der Winkel $\alpha$ ist hierbei der Winkel, der von den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird.
Für die Skalarproduktberechnung spielt neben den Beträgen der Vektoren der Winkel zwischen den beiden Vektoren eine entscheidende Rolle. Das zeigt sich auch in den folgenden Spezialfällen.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left\{ \begin{array}{ll} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{b} = r \cdot \vec{a} \text{ bzw. } \vec{a} = r \cdot \vec{b} \text{ mit } r > 0 \\ 0 & \text{falls } \vec{a} \perp \vec{b} \\ -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{b} = r \cdot \vec{a} \text{ bzw. } \vec{a} = r \cdot \vec{b} \text{ mit } r \text{ < } 0 \\ \end{array} \right. $
