i

Rechengesetze für das Skalarprodukt

Mit Rechengesetzen umformen

Rechengesetze helfen oft Rechnungen zu vereinfachen. Bei Zahlen kann man das KG (Kommutativgesetz), das AG (Assoziativgesetz) und das DG (Distributivgesetz) hierfür nutzen. Hier ein Beispiel:

$ 5 \cdot (2 \cdot 4) + 2 \cdot (5 \cdot (-3)) \overset{\text{AG}}{=} \\ (5 \cdot 2) \cdot 4 + (2 \cdot 5) \cdot (-3) \overset{\text{KG}}{=} \\ (5 \cdot 2) \cdot 4 + (5 \cdot 2) \cdot (-3) \overset{\text{DG}}{=} \\ (5 \cdot 2) \cdot (4 + (-3)) = \\ 10 \cdot 1 = \\ 10 $

In diesem Abschnitt geht es um die Frage, ob es auch entsprechende Rechengesetze für das Skalarprodukt von Vektoren gibt.

Aufgabe 1

Welche der folgenden Gesetze gelten für das Skalarprodukt? Ziel dieser Aufgabe ist es, die Gesetze exemplarisch zu überprüfen.

KG:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

AG:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$

DG:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{c})$

gAG: Für jede reelle $r$ Zahl gilt:
$r \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (r \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b}$

Bemerkung: "gAG" steht für "gemischtes Assiziativgesetz". Hier werden zwei Multiplikationen miteinander vermischt: die sklare Multiplikation und das Skalarprodukt.

(a) Wenn du das KG exemplarisch überprüfen sollst, dann gib irgendwelche Vektoren vor und berechne die jeweiligen Skalarprodukte. Z.B. so:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) = ...$

$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right) = ...$

Zu welchem Resultat kommst die für die gewählten Vektoren? An den Rechnungen kann man bereits erkennen, dass man für andere Zahlenwerte zum gleichen Resultat kommt. Erläutere das.

(b) Gehe für die anderen Rechengesetze analog vor. Zur Kontrolle: Nur eines der Gesetze gilt nicht.

Suche

v
4.7.2.1.1.2
o-mathe.de/analytische-geometrie/skalarprodukt/skalarprodukt/untersuchungen/lernstrecke/rechengesetze
o-mathe.de/4.7.2.1.1.2

Rückmeldung geben