Einführung des Skalarprodukts
Eine vereinfachende Schreibweise nutzen
Im letzten Abschnitt hast du folgenden Zusammenhang entwickelt:
Wenn man die Orthogonalität der beiden Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ überprüfen möchte, dann reicht es, hierfür die Produktsumme $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ aus den Koordinaten der beiden Vektoren zu berechnen und zu überprüfen, ob diese Produktsumme 0 ergibt. Für diese Produktbildung führen wir eine neue Schreibweise ein.
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
Dieses Produkt nennt man Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Um beispielsweise zu überprüfen, ob die beiden Vektoren $\overrightarrow{AE} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ -4 \end{array}\right)$ orthogonal sind, berechnet man das Skalarprodukt der beiden Vektoren aus:
$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ -4 \end{array}\right) = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot (-4) = 0 + 20 - 20 = 0$
Im vorliegenden Beispiel kommt bei der Produktberechnung der Wert $0$ heraus. Hieraus können wir erschließen, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{AE}$ und $\overrightarrow{AB}$ orthogonal sind.
Aufgabe 1
Gegeben sind die Punkte $A(4|-1|1)$, $B(4|9|-3)$, $D(-4|-1|1)$ und $E(4|1|6)$.
Überprüfe mit dem Skalarprodukt, ob $\overrightarrow{AE} \perp \overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{AB}$ gilt. Schreibe die Rechnungen mit dem Skalarprodukt auf.
