Vertiefung - Variation von Ebenengleichungen

Die Ebenengleichung auf Abstandsberechnungen vorbereiten

Wenn man vorhat, Abstände zu einer Ebene zu bestimmen, dann ist es zweckmäßig, die Ebenengleichung bereits passend hierzu zu wählen. Günstig ist es, direkt einen Normaleneinheitsvektor zu wählen.

Zum Herunterladen: abstand_punkt_ebene2.ggb

Aufgabe 1

(a) Vergleiche die Ebenengleichung in Normalenform und die Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes von der Ebene. Was fällt auf?

(b) Die Abstandsformel kann man als Verallgemeinerung der Ebenengleichung ansehen. Erläutere das mit folgendem Zusammenhang.

Ein Punkt $X$ liegt in der Ebene $E$ genau dann gilt: der Abstand des Punktes X von der Ebene E beträgt 0.

Den Abstand einer Ebene zum Koordinatenursprung bestimmen

Wenn man den Abstand einer Ebene zum Koordinatenursprung betrachtet, ergibt sich ein interessanter Zusammenhang.

Zum Herunterladen: abstand_punkt_ebene3.ggb

Aufgabe 2

Begründe mit Hilfe des Applets:

Wenn man eine Ebene in mit einer Gleichung $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n_0} = 0$ mit einem Normaleneinheitsvektor $\vec{n_0}$ vorgegeben hat, dann liefert das Skalarprodukt $\vec{p} \cdot \vec{n_0}$ - bis auf das Vorzeichen - den Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung $O(9|0|0)$.

Die Ergebnisse auf die Koordinatendarstellung übertragen

Gegeben ist eine Ebene $E$ mit verschiedenen Ebenengleichungen (siehe Applet).

Zum Herunterladen: ebene_hnf.ggb

Aufgabe 3

(b) Erkläre, wie die mittlere Ebenengleichung aus der obersten Ebenengleichung und wie die unterste Ebenengleichung aus der mittleren Ebenengleichung entsteht.

(b) Erläutere anhand der verschiedenen Ebenendarstellungen die folgende Aussage:

Wenn man in einer Ebenengleichung in Koordinatenform $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ die Parameter $a$, $b$ und $c$ so wählt, dass der Vektor $\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)$ ein Einheitsvektor ist, dann beschreibt der Parameter $d$ - bis auf das Vorzeichen - den Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$.