Skalarprodukt linear abhängiger Vektoren

Zusammenhänge entdecken

Im folgenden Applet kann man nur ganzzahlige Koordinaten bei den Vektoren einstellen. Diese Einschränkung soll dir helfen, linear abhängige Vektoren zu betrachten.

Zum Herunterladen: skalarprodukt2.ggb

Aufgabe 1

(a) Untersuche zunächst den Fall, dass beide Vektoren gleich sind. Was fällt auf? Dokumentiere die Ergebnisse.

(b) Untersuche dann den Fall, dass beide Vektoren linear abhängig sind, z.B.:
$\vec{b} = 2\vec{a}$, $\vec{b} = 0.5\vec{a}$, $\vec{b} = -2\vec{a}$, ...
Was fällt auf? Dokumentiere die Ergebnisse.

(c) Betrachte auch den Fall, dass einer der Vektoren ein Nullvektor ist.

(d) Formuliere die Ergebnisse der Untersuchungen.

Zusammenhänge begründen

In den beiden folgenden Aufgaben geht es darum, Zusammenhänge präzise zu formulieren und diese Zusammenhänge zu begründen.

Aufgabe 2

(a) Berechne zur Vorbereitung selbst das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{a}$ für $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right)$.

(b) Bestimme eine Formel für das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{a}$ für einen beliebigen Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right)$.

(c) Vergleiche mit der Formel für den Betrag eines Vektors: $|\vec{a}| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$. Was fällt auf?

(d) Begründe: Für einen beliebigen Vektor $\vec{a}$ gilt $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}|$.

Aufgabe 3

K. behauptet, dass folgende Formel gilt:

$\vec{a} \cdot (r \cdot \vec{a}) = r \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{a}|$

Stimmt das?

(a) Überprüfe exemplarisch anhand von Zahlenbeispielen.

(b) Begründe mit den Rechenregeln aus dem vorherigen Abschnitt.

(c) Begründe auch diesen Zusammenhang:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left\{ \begin{array}{ll} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{a} \text{ und } \vec{b} \text{ linear abhängig und gleich gerichtet sind} \\ 0 & \text{falls } \vec{a} \text{ oder } \vec{b} \text{ ein Nullvektor ist } \\ -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{a} \text{ und } \vec{b} \text{ linear abhängig und entgegengesetzt gerichtet sind} \\ \end{array} \right. $

Oder anders formuliert:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left\{ \begin{array}{ll} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{b} = r \cdot \vec{a} \text{ bzw. } \vec{a} = r \cdot \vec{b} \text{ mit } r > 0 \\ 0 & \text{falls } \vec{a} \text{ oder } \vec{b} \text{ ein Nullvektor ist } \\ -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| & \text{falls } \vec{b} = r \cdot \vec{a} \text{ bzw. } \vec{a} = r \cdot \vec{b} \text{ mit } r \text{ < } 0 \\ \end{array} \right. $