Zusammenfassung - Winkelberechnung mit Vektoren
Winkel zwischen zwei Vektoren
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
Gesucht ist der Winkel $w(\vec{a}, \vec{b})$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
Zum Herunterladen: winkel_vektoren2.ggb
Man berechnet den Winkel mit Hilfe des Skalarprodukts:
Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt allgemein:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha)$
Hieraus folgt durch eine Umformung:
$cos(\alpha) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
Mit der Umkehrfunktion $acos$ zur Kosinusfunktio $cos$ erhält man:
$\alpha = acos \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right)$
$w(\vec{a}, \vec{b}) = acos \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right)$
Winkel zwischen zwei Geraden
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Geraden $g$ und $h$ sich in einem Punkt schneiden (oder identisch sind).
Gesucht ist der Winkel $w(g, h)$ zwischen den Geraden $g$ und $h$.
Zum Herunterladen: winkel_geraden3.ggb
Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $h$ mit Hilfe der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der beiden Geraden:
Problemreduktion:
$w(g, h) = \left\{ \begin{array}{ll} w(\vec{u}, \vec{v}) & \text{falls } w(\vec{u}, \vec{v}) \leq 90° \\ 180° - w(\vec{u}, \vec{v}) & \text{sonst} \end{array} \right. $
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt schneidet (oder in der Ebene liegt).
Gesucht ist der Winkel $w(g, E)$ zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$.
Zum Herunterladen: winkel_gerade_ebene3.ggb
Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $E$ mit Hilfe eines Richtungsvektors $\vec{u}$ der Geraden und eines Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene:
Problemreduktion:
$w(g, E) = \left\{ \begin{array}{ll} 90° - w(\vec{u}, \vec{n}) & \text{falls } w(\vec{u}, \vec{n}) \leq 90° \\ w(\vec{u}, \vec{n}) - 90° & \text{sonst} \end{array} \right. $
Winkel zwischen zwei Ebenen
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind zwei Ebenen $E_1$ und $E_1$ mit Hilfe von Ebenengleichungen in Normalenform. Vorausgesetzt wird, dass die beiden Ebenen sich in einer Geraden schneiden (oder identisch sind).
Gesucht ist der winkel $w(E_1, E_2)$ zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$.
Zum Herunterladen: winkel_ebenen4.ggb
Man erhält den Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ mit Hilfe der Normalenvektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ der beiden Ebenen:
Problemreduktion:
$w(E_1, E_2) = \left\{ \begin{array}{ll} w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) & \text{falls } w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) \leq 90° \\ 180° - w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) & \text{sonst} \end{array} \right. $
