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Zusammenfassung - Winkelberechnung mit Vektoren

Winkel zwischen zwei Vektoren

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .

Gesucht ist der Winkel $w (\vec{a}, \vec{b})$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .

Zum Herunterladen: winkel_vektoren2.ggb

Man berechnet den Winkel mit Hilfe des Skalarprodukts:

Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt allgemein:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot c o s (α)$

Hieraus folgt durch eine Umformung:

$c o s (α) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Mit der Umkehrfunktion $a c o s$ zur Kosinusfunktio $c o s$ erhält man:

$α = a c o s (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |})$

$w (\vec{a}, \vec{b}) = a c o s (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |})$

Winkel zwischen zwei Geraden

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Geraden $g$ und $h$ sich in einem Punkt schneiden (oder identisch sind).

Gesucht ist der Winkel $w (g, h)$ zwischen den Geraden $g$ und $h$ .

Zum Herunterladen: winkel_geraden3.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $h$ mit Hilfe der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der beiden Geraden:

Problemreduktion:

$w (g, h) = {\begin{cases} w (\vec{u}, \vec{v}) & falls w (\vec{u}, \vec{v}) \leq 90 ° \\ 180 ° - w (\vec{u}, \vec{v}) & sonst \end{cases}$

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt schneidet (oder in der Ebene liegt).

Gesucht ist der Winkel $w (g, E)$ zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ .

Zum Herunterladen: winkel_gerade_ebene3.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $E$ mit Hilfe eines Richtungsvektors $\vec{u}$ der Geraden und eines Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene:

Problemreduktion:

$w (g, E) = {\begin{cases} 90 ° - w (\vec{u}, \vec{n}) & falls w (\vec{u}, \vec{n}) \leq 90 ° \\ w (\vec{u}, \vec{n}) - 90 ° & sonst \end{cases}$

Winkel zwischen zwei Ebenen

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Ebenen $E_{1}$ und $E_{1}$ mit Hilfe von Ebenengleichungen in Normalenform. Vorausgesetzt wird, dass die beiden Ebenen sich in einer Geraden schneiden (oder identisch sind).

Gesucht ist der winkel $w (E_{1}, E_{2})$ zwischen den Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ .

Zum Herunterladen: winkel_ebenen4.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $E_{1}$ und $E_{2}$ mit Hilfe der Normalenvektoren $\vec{n_{1}}$ und $\vec{n_{2}}$ der beiden Ebenen:

Problemreduktion:

$w (E_{1}, E_{2}) = {\begin{cases} w (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) & falls w (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) \leq 90 ° \\ 180 ° - w (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) & sonst \end{cases}$

Zusammenfassung - Winkelberechnung mit Vektoren

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen zwei Geraden

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Winkel zwischen zwei Ebenen

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