Lösestrategie

Eine Problemreduktion nutzen

Wir betrachten weiterhin eine Situation, in der eine Gerade $g$ eine Ebene $E$ schneidet.

Die Gerade $g$ ist mit einem Stützpunkt $P$ und einem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ festgelegt, die Ebene $E$ ist mit einem Stützpunkt $Q$ und einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$.

Zum Herunterladen: winkel_gerade_ebene1.ggb

Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Man bestimmt zunächst den Winkel zwischen dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ von $g$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow{v}$ von $E$. Dieser Winkel ergänzt den Winkel zwischen $g$ und $E$ zu 90°. Also:

$w(g,E)=90°-w(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})$

Aufgabe 1

Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Daten den Winkel zwischen $g$ und $E$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.

Aufgabe 2

Wir variieren die Vektoren in der Beschreibung von $g$ und $E$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.

(a) Version 1

$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ (mit $r\in \mathbb{R}$)

$E$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)=0$

(b) Version 2

$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ (mit $r\in \mathbb{R}$)

$E$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)=0$