Lösestrategie
Eine Problemreduktion nutzen
Wir betrachten weiterhin eine Situation, in der eine Gerade $g$ eine Ebene $E$ schneidet.
Die Gerade $g$ ist mit einem Stützpunkt $P$ und einem Richtungsvektor $\vec{u}$ festgelegt, die Ebene $E$ ist mit einem Stützpunkt $Q$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$.
Zum Herunterladen: winkel_gerade_ebene1.ggb
Gegeben sind die Gerade $g$ und die Ebene $E$ mit folgenden Gleichungen:
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) = 0$
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$, der von der Geraden $g$ und der Ebene $E$ eingeschlossen wird.
Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Man bestimmt zunächst den Winkel zwischen dem Richtungsvektor $\vec{u}$ von $g$ und dem Normalenvektor $\vec{v}$ von $E$. Dieser Winkel ergänzt den Winkel zwischen $g$ und $E$ zu 90°. Also:
$w(g, E) = 90° - w(\vec{u}, \vec{n})$
Aufgabe 1
Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Daten den Winkel zwischen $g$ und $E$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.
Aufgabe 2
Wir variieren die Vektoren in der Beschreibung von $g$ und $E$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.
(a) Version 1
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = 0$
(b) Version 2
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) = 0$
