Übungen - Abstandsberechnung mit dem Skalarprodukt

Aufgabe 1: Auswertung von Spieldaten

Beim Abstandsspiel wurden folgende Punkte gesetzt.

Zum Herunterladen: abstandsspiel3.ggb

Leider sind die Button zur Abstandsbestimmung deaktiviert. Du musst jetzt selbst die Abstände bestimmen. Ermittle so, welcher Punkt am nächsten an der Ebene $H$ liegt.

Aufgabe 2: Abstand zum Ursprung

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(0|4|0)$ und $C(0|0|4)$ legen zusammen mit dem Koordinatenurspung $O(0|0|0)$ eine dreiteitige Pyramide fest.

Zum Herunterladen: pyramide.ggb

(a) Bestimme zunächst den Abstand des Dreiecks $ABC$ von Koordinatenursprung $O$. Bestimme zusätzlich den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$. Mit den beiden Ergebnissen kannst du das Volumen der Pyramide bestimmen.

(b) Überprüfen kannst du das Ergebnis, indem du das Volumen der Pyramide anders berechnest: Betrachte das Dreieck $OAC$ als Grundfläche der Pyramide. Warum werden alle Berechnungen jetzt besonders einfach? Führe die Berechnungen aus und vergleiche das Ergebnis für das Volumen mit dem aus Teilaufgabe (a).

(b) (schwierig) Führe verallgemeinernde Berechnungen mit den Punkten $A(x|0|0)$, $B(0|x|0)$ und $C(0|0|x)$ aus ($x$ steht hier für eine beliebige positive reelle Zahl). Bestimme für diese Punkte das Volumen der zugehörigen Pyramide analog zu Teilaufgabe (a) und (b).

Aufgabe 3: Abstand im 2D-Fall

Gegeben ist ein 2D-Gerade (siehe Applet), die durch die Punkte $P(-2|3)$ und $(2|0)$ verläuft.

Zum Herunterladen: gerade_hnf.ggb

(a) Beschreibe die Gerade mit einer Geradengleichung vom Typ $g: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n_0} = 0$ - wobei $\vec{n_0}$ ein Normaleneinheitsvektor zur Gerade $g$ ist.

(b) Bestimme den Abstand der Geraden zum Koordinatenursprung. Gehe dabei analog zur Abstandsbestimmung bei Ebenen vor. Gerade $g$ ist.