Lösungen zu Anwendung der Kriterien
Aufgabe 1
Die Grafik zeigt das bisherige und prognostizierte Wachstum der Weltbevölkerung. Auf der $x$-Achse sind die Jahre ab 2000 abgetragen (d.h.: der $x$-Wert $80$ entspricht dem Jahr 2080, der $x$-Wert $-40$ dem Jahr 1960). Auf der $y$-Achse ist die Bevölkerungszahl in Milliarden abgetragen.
Zum Herunterladen: weltbevoelkerung.ggb
Die Entwicklung der Weltbevölkerungszahl wird hier mit der Funktion $f$ mit $f(x) = -0.000002 x^3 - 0.00016 x^2 + 0.077 x + 6.24$ modelliert.
(a) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Weltbevölkerung (nach der Prognose) den maximalen Wert annimmt. Bestimme auch den erwarteten maximalen Wert.
Schritt 1: Die Nullstellen von $f'$ bestimmen
Durch Ableiten erhält man $f'(x) = -0.000006 x^2 - 0.00032 x + 0.077$.
Die Nullstellen von $f'$ kann man mit dem Werkzeug bestimmen. Man erhält: $x \approx -143$ und $x \approx 90$.
Schritt 2: Das Vorzeichen von $f'$ untersuchen
$f'$ ist eine quadratische Funktion mit einem negativen Vorfaktor vor $x^2$. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. An der Stelle $x \approx 90$ liegt demnach ein VZW von $+$ zu $-$ vor. Graph $f$ hat also an der Stelle $x \approx 90$ einen Hochpunkt.
Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung erhält man $f(90) \approx 10.4$.
Nach der Prognose erreicht die Weltbevölkerung im Jahr $2090$ ihren maximalen Wert von $10.4$ Mrd. Menschen.
(b) Bestimme den Wendepunkt der Funktion $f$. Deute den entsprechenden Zeitpunkt im Kontext Bevölkerungswachstum.
Schritt 1: Die Nullstellen von $f''$ bestimmen
Durch zweimaliges Ableiten erhält man $f''(x) = -0.000012 x - 0.00032$.
Die Nullstelle von $f''$ kann man direkt bestimmen. Man erhält: $x \approx -26.6$.
Schritt 2: Das Vorzeichen von $f''$ untersuchen
$f''$ ist eine lineare Funktion mit einer negativen Steigung. Der Graph ist dann Gerade, die an der Stelle $x \approx -26.6$ einen VZW hat. Graph $f$ hat also an der Stelle $x \approx -26.6$ einen Wendepunkt.
Seit dem Jahr $1974$ besteht der Trend, dass die Bevölkerung nur noch ein gebremstes Wachstum aufweist.
Aufgabe 2
Die Grafik zeigt die prognostizierte Kostenentwicklung eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produkts. Auf der $x$-Achse ist die Produktmenge in einer Mengeneinheit (z.B. 1 ME = 1000 Stück) abgetragen, auf der $y$-Achse die Kosten in einer Geldeinheit (z.B. 1 GE = 20 €).
(a) Deute die Kostenentwicklung. Markiere den Wendepunkt des Graphen. Erläutere die Bedeutung dieses Wendepunkte im Kontext Kostenentwicklung.
Zum Herunterladen: kostenentwicklung_loesung.ggb
(b) Die Kostenentwicklung lässt sich mit der Funktion $k$ mit $k(x) = 0.1 x^3 - 3 x^2 + 55 x + 200$ modellieren. Bestimme den Wendepunkt bei dieser Kostenentwicklung.
Schritt 1: Die kritischen Stellen für Wendepunkte bestimmen
Durch zweimaliges Ableiten erhält man $k''(x) = 0.6x - 6$.
Die Nullstelle von $k''$ kann man direkt bestimmen. Man erhält: $x = 10$.
Schritt 2: Die kritischen Stellen mit der dritten Ableitung überprüfen
Durch zweimaliges Ableiten erhält man $k'''(x) = 0.6$.
Da $k'''(10) = 0.6 \neq 0$, hat Graph $k$ also an der Stelle $x = 10$ einen Wendepunkt.
Es gilt $k(10) = 550$. Der Wendepunkt hat also die Koordinaten $(10|550)$.
(c) Das Unternehmen erzielt beim Verkauf des Produkts einen Erlös, der sich mit der Funktion $e$ mit $e(x) = 60x$ beschreiben lässt. Der Gewinn des Unternehmens kann dann mit der Funktion $g$ mit $g(x) = e(x) - k(x) = -0.1 x^3 + 3 x^2 + 5 x - 200$ beschrieben werden. Ermittle, bei welcher Mengeneinheit ein maximaler Gewinn erwirtschaftet wird.
Schritt 1: Die kritischen Stellen für lokale Extrema bestimmen
Durch Ableiten erhält man $g'(x) = -0.3 x^2 + 6x + 6$.
Die Nullstellen von $g'$ kann man mit dem Werkzeug bestimmen. Man erhält: $x \approx -0.95$ und $x \approx 20.95$.
Schritt 2: Die kritischen Stellen untersuchen
$g'$ ist eine quadratische Funktion mit einem negativen Vorfaktor vor $x^2$. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. An der Stelle $x \approx 20.95$ liegt demnach ein VZW von $+$ zu $-$ vor. Graph $g$ hat also an der Stelle $x \approx 20.95$ einen Hochpunkt.
Das Unternehmen erwirtschaftet also für $x \approx 20.95$ Mengeneinheiten den maximalen Gewinn.
Aufgabe 3
Kubische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 3. Sie lassen sich allgemein so darstellen:
$f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$ vorausgesetzt wird.
Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a, b, c, d$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a = 0$ außer Acht lassen musst.
Zum Herunterladen: wendepunkte_kubische_funktionen.ggb
(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a, b, c, d$ mit $a \neq 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Wendepunkt. Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a = 1$, $b = -3$, $c = -1$ und $d = 3.5$ den Wendepunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.
(b) F. behauptet, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ vom Grad $3$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$) an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.
(c) Betrachte jetzt die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$). Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede dieser Funktionen einen Wendepunkt an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ hat.
Schritt 1: Die kritischen Stellen für Wendepunkte bestimmen
Durch Ableiten erhält man $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Durch zweimaliges Ableiten erhält man somit $f''(x) = 6ax + 2b$.
Die Nullstelle von $f''$ kann man direkt bestimmen. Man erhält: $x = -\frac{b}{3a}$. Beachte, dass $a \neq 0$ vorausgesetzt ist.
Schritt 2: Die kritischen Stellen untersuchen
Durch dreimaliges Ableiten erhält man $f'''(x) = 6a$.
Für die kritische Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ erhält man $f'''(-\frac{b}{3a}) = 6a \neq 0$ (da $a \neq 0$ vorausgesetzt ist). Graph $f$ hat also an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ einen Wendepunkt.
