Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:

Zur Klärung dieser Frage bieten wir unterschiedliche Wege an.

Die Wahrscheinlichkeiten experimentell bestimmen

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zum Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ (und dabei beobachten, ob die Antworten richtig sind) können auf unterschiedliche Weise experimentell bestimmt werden.

Aufgabe 1

Wähle selbst dein Vorgehen und bestimme erste grobe Schätzwerte für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Version 1: den Test durchführen

Führe den Test mit vielen Personen durch. Achte darauf, dass die Personen kein medizinisches Fachwissen haben. Werte die Testergebnisse aus.

Version 2: mit einer Urne simulieren

Konzipiere ein Urnenexperiment zur Simulation des Zufallsexperiments „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“. Überlege dir hierzu, wie die Urne befüllt werden kann und wie der Ablauf der Ziehungen erfolgt.

Führe das Urnenexperiment wiederholt durch und bestimme auf diese Weise Schätzwerte für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Version 3: mit Zufallszahlen simulieren

Benutze den Zufallszahlengenerator, um die wiederholte Durchführung des Zufallsexperiments „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ zu simulieren. Bestimme mit Hilfe der Zufallszahlen Schätzwerte für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeiten mit Überlegungen bestimmen

Beim Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ bezeichen wir eine richtige Antwort als Treffer (kurz: T) und eine falsche Antwort als Niete (kurz: N). Das Ergebnis des Zufallsexperimets ist dann eine 10er-Kette aus Treffern und Nieten (wie z. B. $NNNTNNNNTN$).

Mit der Zufallsgröße $X$ beschreiben wir die Anzahl der Treffer. $X$ ordnet also jeder 10er-Kette aus Treffern und Nieten die Anzahl der darin vorkommenden Treffern zu.

Beispiel: $X: NNNTNNNNTN \rightarrow 2$

Betrachte das Ereignis $X = 2$ bzw. „genau 2 Treffer“. Ziel ist es, diese Wahrscheinlichkeit hier zu bestimmen. Probiere es erst selbstständig. Bearbeite hierzu Aufgabe 2. Wenn du Hilfe benötigst, dann bearbeite Aufgabe 3.

Aufgabe 2

Kläre selbstständig folgende Fragen:

• Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ (wenn wie im vorliegenden Test immer genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist)?
• Wie groß ist die Nietenwahrscheinlichkeit $q$ (wenn wie im vorliegenden Test immer genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist)?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 10er-Kette mit genau 2 Treffern und 8 Nieten (wie z. B. der 10er-Kette $NNNTNNNNTN$)?
• Wie viele 10er-Kette mit genau 2 Treffern und 8 Nieten gibt es?
• Wie groß ist demnach die Wahrscheinlichkeit $P(X = 2)$ für genau 2 Treffer?

Aufgabe 3

(a) Mit dem folgenden Applet kannst du die Wahrscheinlichkeit einer 10er-Kette bestehend aus Treffern und Nieten bestimmen. Erkläre, wie du auf die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten kommst.

Wahrscheinlichkeit einer 10er-Kette

Anleitung für das Applet:

• Du kannst die Auswahlboxen anklicken. Die angeklickten Boxen stellen dann die Treffer dar. Die Pfeile deuten einen Treffer-Nieten-Pfad im Baumdiagramm zum mehrstufigen Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ an.

Zum Herunterladen: auswahlinteraktiv.ggb

(b) Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $X = 2$: „genau 2 Treffer“ muss die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten mit genau 2 Treffern bestimmt werden.

Anzahl der 10er-Ketten mit 2 genau Treffern

Anleitung für das Applet:

• Mit dem Button nächste Möglichkeit kannst du jeweils eine neue Auswahl von 2 Treffern erzeugen.

Zum Herunterladen: auswahlmoeglichkeiten.ggb

Hinweis

Die gesuchte Anzahl erhältst du, indem du alle Auswahlmöglichkeiten schrittweise erzeugst.

(c) Bestimme mit den Ergebnissen aus (a) und (b) die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Zur Kontrolle

$P(X = 2) = 45 \cdot 0.25^{2} \cdot 0.75^{8} = \binom{10}{2} \cdot 0.25^{2} \cdot 0.75^{8} \approx 0.28$