Vertiefung - Sigma-Regeln
Zur Orientierung
Mit der Standardabweichung $\sigma(X)$ und dem Erwartungswert $E(X)$ kann eine Art „mittlerer Bereich“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ beschrieben werden. In diesem „mittleren Bereich“ liegen die wahrscheinlichsten Werte von $X$.
Für binomialverteilte Zufallsgrößen kann diese Aussage weiter präzisiert werden. Es können grob Bereichswahrscheinlichkeiten für $X$ angegeben werden.
Ziel
Wir wollen Faustregeln formulieren, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte „mittlere Bereiche“ bei einer binomialverteilten Zufallsgröße sind.
Bereichswahrscheinlichkeiten abschätzen
Wir nutzen das folgende Applet zur Abschätzung.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1\cdot\sigma$, $2\cdot\sigma$ und $3\cdot\sigma$.
- Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
- Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb
Aufgabe 1
Betrachte zunächst Intervalle der Gestalt $\mu-\sigma\leq X \leq\mu+\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.
Beobachtung: Sigma-Regeln
Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-\sigma\leq X \leq\mu+\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.
Aufgabe 2
Betrachte jetzt Intervalle der Gestalt $\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.
Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.
Aufgabe 3
Betrachte nun Intervalle der Gestalt $\mu-3\sigma\leq X \leq\mu+3\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.
Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-3\sigma\leq X \leq\mu+3\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.
Aufgabe 4
(a) Erläutere, wozu die in den Aufgaben erzielten Ergebnisse dienen könnten.
(b) In den Beobachtungen steht jeweils „für größere $\sigma$-Werte“. Damit ist die sogenannte Laplace-Bedingung gemeint, die einen Richtwert angibt, ab wann man die Faustregeln von oben anwenden kann. Überprüfe die Bedingung mithilfe des Applets: Zeige, dass ohne die Laplace-Bedingung die Faustregeln nicht zutreffen müssen.
Laplace-Bedingung
Die Faustformeln von oben gelten, wenn die Standardabweichung größer ist als 3.
