Vertiefung - Sigma-Regeln

Zur Orientierung

Mit der Standardabweichung $\sigma (X)$ und dem Erwartungswert $E(X)$ kann eine Art „mittlerer Bereich“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ beschrieben werden. In diesem „mittleren Bereich“ liegen die wahrscheinlichsten Werte von $X$.

Für binomialverteilte Zufallsgrößen kann diese Aussage weiter präzisiert werden. Es können grob Bereichswahrscheinlichkeiten für $X$ angegeben werden.

Bereichswahrscheinlichkeiten abschätzen

Wir nutzen das folgende Applet zur Abschätzung.

Anleitung für das Applet

• Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
• Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1\cdot \sigma$, $2\cdot \sigma$ und $3\cdot \sigma$.
• Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
• Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb

Aufgabe 1

Betrachte zunächst Intervalle der Gestalt $\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 2

Betrachte jetzt Intervalle der Gestalt $\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 3

Betrachte nun Intervalle der Gestalt $\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 4

Erläutere, wozu die in den Aufgaben erzielten Ergebnisse dienen könnten.