Vertiefung - Sigma-Regeln

Zur Orientierung

Mit der Standardabweichung $\sigma(X)$ und dem Erwartungswert $E(X)$ kann eine Art „mittlerer Bereich“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ beschrieben werden. In diesem „mittleren Bereich“ liegen die wahrscheinlichsten Werte von $X$.

Für binomialverteilte Zufallsgrößen kann diese Aussage weiter präzisiert werden. Es können grob Bereichswahrscheinlichkeiten für $X$ angegeben werden.

Bereichswahrscheinlichkeiten abschätzen

Wir nutzen das folgende Applet zur Abschätzung.

Anleitung für das Applet

• Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
• Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1\cdot\sigma$, $2\cdot\sigma$ und $3\cdot\sigma$.
• Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
• Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb

Aufgabe 1

Betrachte zunächst Intervalle der Gestalt $\mu-\sigma\leq X \leq\mu+\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-\sigma\leq X \leq\mu+\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 2

Betrachte jetzt Intervalle der Gestalt $\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 3

Betrachte nun Intervalle der Gestalt $\mu-3\sigma\leq X \leq\mu+3\sigma$.
Bestimme für verschiedene Parameter $n$ und $p$ die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten. Formuliere ein Ergebnis.

Die Intervallwahrscheinlichkeit $P(\mu-3\sigma\leq X \leq\mu+3\sigma)$ beträgt (für größere $\sigma$-Werte) etwa ... %.

Aufgabe 4

Erläutere, wozu die in den Aufgaben erzielten Ergebnisse dienen könnten.