Erkundung - Galton-Brett

Einstieg - mit dem Galton-Brett experimentieren

Bei einem Galton-Brett bewegt sich eine Kugel durch ein System regelmäßig angeordneter Hindernisse. Auf jeder Stufe prallt die Kugel auf einen Stab und wird mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts abgelenkt. Nach dem Durchlauf durch die Stabreihen fällt die Kugel in einen der dort aufgestellten Behälter. Das folgende Applet simuliert ein reales Galton-Brett:

Zum Herunterladen: galton1.ggb

Aufgabe 1

Mache dich mit dem Galton-Brett im Applet vertraut. Gehe dabei z.B. so vor:

• Teste zunächst die Schaltfläche Neue Kugel. Klicke diese Schaltfläche wiederholt an.
• Teste die Schaltfläche Zurücksetzen.
• Aktiviere Dauerschleife und klicke auf die Schaltfläche Neue Kugel. Deaktiviere die Dauerschleife.
• Variiere die [Geschwindigkeit].
• Ändere die Anzahl der [Stabreihen].
• Ändere die [Rechtswahrscheinlichkeit].

Erarbeitung - Zusammenhänge beschreiben und begründen

Du hast beim Experimentieren sicher schon einige interessante Beobachtungen gemacht.

Aufgabe 2

Sammle und formuliere Zusammenhänge, die du bei deinen Experimenten beobachtet hast.

Hier einige Aspekte, die du bei der Beschreibung von Zusammenhängen berücksichtigen solltest:

• Was genau wird im Diagramm unterhalb der Stabreihen angezeigt? Was geben die Zahlen an?
• Warum werden die Behälter unterhalb der Stabreihen nicht alle in etwa gleich gefüllt?
• Welchen Einfluss hat die Rechtswahrscheinlichkeit auf die Füllung der Behälter?

Vertiefung - einen Zusammenhang zu Bernoulli-Ketten herstellen

Das Durchlaufen einer Kugel durch die Stabreihen kann als Zufallsexperiment angesehen werden.

Aufgabe 3

(a) Begründe: Das Zufallsexperiment „Kugel bewegt sich durch die Stabreihen“ kann als Bernoulli-Kette angesehen werden.

(b) Erläutere, was die Parameter $n$ und $p$ zur Beschreibung der Bernoulli-Kette im vorgegebenen Kontext bedeuten.

(c) Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Rechtsbewegungen (als Treffer). Erläutere möglichst genau (eventuell anhand eines Beispiels), dass mit den Behälterbelegungen Schätzwerte für $P(X = k)$ erhalten werden.