Strukturierung - Bernoulli-Ketten
Einstieg - den Multiple-Choice-Test analysieren
Das Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ lässt mit Hilfe eines Baumdiagramms beschreiben:
Zum Herunterladen: struktur_bernoullikette.ggb
Aufgabe 1
Erläutere folgende Aussagen anhand des Applets:
- Beim Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit $10$ Stufen (im Applet sind nur die ersten drei zu sehen).
- In jeder Stufe findet das gleiche Teilexperiment statt.
- Jedes Teilexperiment hat genau $2$ Ergebnisse, die als Treffer (kurz: T) und Niete (kurz: N) bezeicht werden.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beträgt (in jeder Stufe) $p = 0.25$, die für eine Niete $q = 1-p = 0.75$.
Aufgabe 2
Zur Beschreibung solcher Zufallsexperimente werden die folgenden Fachbegriffe und Bezeichnungen verwendet:
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen. Die Ergebnisse werden oft als Treffer (kurz $T$) und Niete (kurz $N$) bezeichnet. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden Trefferwahrscheinlichkeit (kurz $p$) und Nietenwahrscheinlichkeit (kurz $q = 1-p$) genannt.
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus $n$ unabhängigen Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, wird Bernoulli-Kette der Länge $n$ (oder n-stufiges Bernoulli-Experiment) genannt.
Ergänze mit Hilfe der eingeführten Begriffe und Bezeichnungen die folgende Charakterisierung:
Beim Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge $n = \dots$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = \dots$.
Erarbeitung - Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten bestimmen
Bei Benoulli-Ketten ist folgende Frage interessant:
Leitfrage: Wie wahrscheinlich ist es, bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ genau $k$ Treffer zu erzielen?
Mit der Zufallsgröße $X$ erfassen wir die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette. $X$ ordnet also jeder Folge aus Treffern und Nieten die Anzahl der darin vorkommenden Treffern zu.
Beispiel: $X: NNNTNNNNTN \rightarrow 2$
Ein Ereignis wie z.B. „genau 2 Treffer“ kann dann mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ in der Form $X = 2$ beschrieben werden. Gesucht ist im Folgenden die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$, wobei $k$ die Anzahl der Treffer angibt.
Zum Herunterladen: wahrscheinlichkeiten_bernoullikette.ggb
Aufgabe 3
Im Applet ist zu Beginn die folgende Formel zu sehen:
$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0.25^2 \cdot 0.75^8$
Erkläre die Bestandteile dieser Formel und wie sie erhalten werden.
Aufgabe 4
Betrachte das Ereignis $X = k$ für eine beliebige Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Beschreibe die zugehörige Wahrscheinlichkeit mit einer verallgemeinerten Formel.
$P(X = k) = \dots$
Diese Formel wird auch Formel von Bernoulli genannt.
Vertiefung - die Formel von Bernoulli anwenden
Betrachte folgende Situationen:
-
Zufallsexperiment: einen Multiple-Choice-Test mit 8 Fragen und je 3 Antwortmöglichkeiten durch Raten ausführen (Treffer: die richtige Antwortmöglichkeit ankreuzen)
Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $4$ Treffer -
Zufallsexperiment: eine Münze 5-mal werfen (Treffer: es fällt Kopf)
Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $3$ Treffer -
Zufallsexperiment: einen Würfel 12-mal werfen (Treffer: es fällt eine $6$)
Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $2$ Treffer
Aufgabe 4
Beschreibe die Zufallsexperimente zunächst als Bernoulli-Ketten. Bestimme dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 5
Gib selbst (mindestens 3) weitere Beispiele für Bernoulli-Ketten an. Bestimme jeweils eine Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.
