Strukturierung - Bernoulli-Ketten

Einstieg - den Multiple-Choice-Test analysieren

Das Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ lässt mit Hilfe eines Baumdiagramms beschreiben:

Zum Herunterladen: struktur_bernoullikette.ggb

Aufgabe 1

Erläutere folgende Aussagen anhand des Applets:

• Beim Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit $10$ Stufen (im Applet sind nur die ersten drei zu sehen).
• In jeder Stufe findet das gleiche Teilexperiment statt.
• Jedes Teilexperiment hat genau $2$ Ergebnisse, die als Treffer (kurz: T) und Niete (kurz: N) bezeichnet werden.
• Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beträgt (in jeder Stufe) $p = 0.25$, die für eine Niete $q = 1-p = 0.75$.

Aufgabe 2

Zur Beschreibung solcher Zufallsexperimente werden die folgenden Fachbegriffe und Bezeichnungen verwendet:

Ergänze mit Hilfe der eingeführten Begriffe und Bezeichnungen die folgende Charakterisierung:

Beim Zufallsexperiment „$10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten zufällig beantworten“ handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge $n = \dots$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = \dots$.

Erarbeitung - Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten bestimmen

Bei Benoulli-Ketten ist folgende Frage interessant:

Mit der Zufallsgröße $X$ erfassen wir die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette. $X$ ordnet also jeder Folge aus Treffern und Nieten die Anzahl der darin vorkommenden Treffern zu.

Beispiel: $X: NNNTNNNNTN \rightarrow 2$

Ein Ereignis wie z. B. „genau 2 Treffer“ kann dann mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ in der Form $X = 2$ beschrieben werden. Gesucht ist im Folgenden die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$, wobei $k$ die Anzahl der Treffer angibt.

Zum Herunterladen: wahrscheinlichkeiten_bernoullikette.ggb

Aufgabe 3

Im Applet ist zu Beginn die folgende Formel zu sehen:

$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0.25^2 \cdot 0.75^8$

Erkläre die Bestandteile dieser Formel und wie sie erhalten werden.

Aufgabe 4

Betrachte das Ereignis $X = k$ für eine beliebige Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Beschreibe die zugehörige Wahrscheinlichkeit mit einer verallgemeinerten Formel:

$P(X = k) = \dots$

Diese Formel wird auch Formel von Bernoulli genannt.

Vertiefung - die Formel von Bernoulli anwenden

Betrachte folgende Situationen:

• Zufallsexperiment: einen Multiple-Choice-Test mit 8 Fragen und je 3 Antwortmöglichkeiten durch Raten ausführen (Treffer: die richtige Antwortmöglichkeit ankreuzen)
  Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $4$ Treffer
• Zufallsexperiment: eine Münze 5-mal werfen (Treffer: es fällt Kopf)
  Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $3$ Treffer
• Zufallsexperiment: einen Würfel 12-mal werfen (Treffer: es fällt eine $6$)
  Gesucht: die Wahrscheinlichkeit für $2$ Treffer

Aufgabe 5

Beschreibe die Zufallsexperimente zunächst als Bernoulli-Ketten. Bestimme dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 6

Gib selbst (mindestens 3) weitere Beispiele für Bernoulli-Ketten an. Bestimme jeweils eine Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.

Aufgabe 7

Jan hat die folgende Rechnung notiert: $$P(X=3)= \textcolor{orange}{\binom43} \cdot \textcolor{cyan}{0,3^3} \cdot \textcolor{brown}{0,7^1},$$ wobei $X$ die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette angibt.

(a) Erläutere anhand des Beispiels die Bedeutung des Binomialkoeffizienten $\textcolor{orange}{\binom43}$. Markiere die entsprechenden Pfade im Baumdiagramm (T bedeutet Treffer, N bedeutet Niete):

(b) Erläutere die Bedeutung der anderen beiden Faktoren $\textcolor{cyan}{0,3^3}$ und $\textcolor{brown}{0,7^1}$. Warum werden sie multipliziert?