Einstieg - Begriffbildung
Vom Galton-Brett ausgehen
Im letzten Abschnitt hast du Experimente mit einem (simulierten) Galton-Brett durchgeführt. Das Applet zeigt eine typische Situation nach $1000$ Durchführungen eines Kugellaufs bei $10$ Stabreihen und einer Rechtswahrscheinlichkeit $p = 0.6$.
Zum Herunterladen: galton2.ggb
Der Kugellauf kann als Bernoulli-Kette angesehen werden. Ein Treffer ist dabei eine Bewegung rechts am Stab vorbei.
Zum Herunterladen: binomialverteilung1.ggb
Aufgabe 1
Stelle die Werte für $n$ und $p$ im Applet so ein, dass sie einem Kugellauf im Galton-Brett entsprechen. Vergleiche anschließend die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ zur Bernoulli-Kette mit den relativen Häufigkeiten der Kugelbehälter. Den $k$-Wert kannst du mit dem schwarzen Dreieck auf der $k$-Achse variieren. Beschreibe den Zusammenhang.
Den Fokus auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung lenken
Wir richten den Fokus jetzt auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten. Wegen ihrer besonderen Bedeutung erhält diese Wahrscheinlichkeitsverteilung einen eigenen Namen.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) genannt. Wir sagen auch, dass $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße ist.
Oft wird auch die Schreibweise $B_{n;p}(k)$ statt $P(X = k)$ benutzt. Wir werden im Folgenden in der Regel $P(X = k)$ benutzen und dabei stets voraussetzen, dass $X$ die Trefferanzahl einer Bernoulli-Kette beschreibt.
Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$
Aufgabe 2
(a) Erzeuge mit dem Applet ein Histogramm zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$.
Zum Herunterladen: binomialverteilung1.ggb
(b) Verwende das Applet, um die Wertetabelle für die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ zu vervollständigen.
| $k$ | $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ |
| $0$ | |
| $1$ | |
| $2$ | |
| $3$ | |
| $4$ | |
| $5$ | |
| $6$ | $0.0007$ |
