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Zusammenfassung - Bernoulli-Ketten

Die Struktur von Bernoulli-Ketten

Es gibt viele mehrstufige Zufallsexperimente, die eine besonders einfache Struktur haben. Sie bestehen aus einer Wiederholung von Teilexperimenten mit genau zwei Ergebnissen, die zudem immer die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das Applet verdeutlicht diese Struktur für eine dreifache Wiederholung.

Zum Herunterladen: struktur_bernoullikette.ggb

Zur Beschreibung solcher Zufallsexperimente werden die folgenden Fachbegriffe und Bezeichnungen verwendet:

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen. Die Ergebnisse werden oft als Treffer (kurz $T$ ) und Niete (kurz $N$ ) bezeichnet. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden Trefferwahrscheinlichkeit (kurz $p$ ) und Nietenwahrscheinlichkeit (kurz $q = 1 - p$ ) genannt.

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus $n$ unabhängigen Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, wird Bernoulli-Kette der Länge $n$ (oder n-stufiges Bernoulli-Experiment) genannt.

Beachte, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette nicht verändert.

Beispiele:

Zufallsexperiment: eine Münze 5-mal werfen (Treffer: es fällt Kopf)
Bernoulli-Kette der Länge $n = 5$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.5$
Zufallsexperiment: einen Würfel 10-mal werfen (Treffer: es fällt eine $6$ )
Bernoulli-Kette der Länge $n = 10$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6}$
Zufallsexperiment: einen Multiple-Choice-Test mit 10 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten durch Raten ausführen (Treffer: die richtige Antwortalternative ankreuzen)
Bernoulli-Kette der Länge $n = 10$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.25$

Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten

Bei Benoulli-Ketten ist folgende Frage interessant:

Leitfrage

Wie wahrscheinlich ist es, bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ genau $k$ Treffer zu erzielen?

Mit der Zufallsgröße $X$ erfassen wir die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette. $X$ ordnet also jeder Folge aus Treffern und Nieten die Anzahl der darin vorkommenden Treffern zu.

Beispiel: $X : N N N T N N N N T N \to 2$

Ein Ereignis wie z. B. „genau 2 Treffer“ kann dann mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ in der Form $X = 2$ beschrieben werden. Gesucht ist im Folgenden die Wahrscheinlichkeit $P (X = k)$ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ , wobei $k$ die Anzahl der Treffer angibt.

Zum Herunterladen: wahrscheinlichkeiten_bernoullikette.ggb

Mit Hilfe des Applets erkennst du,

Schritt 1: die Wahrscheinlichkeit von Treffer-Nieten-Folgen bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit für eine Treffer-Nieten-Folge mit genau $k$ Treffern bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ beträgt $p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ . Das ergibt sich sofort aus der Pfadregel für mehrstufige Zufallsexperimente. Beachte, dass die Reihenfolge der Treffer und Nieten hier keine Rolle spielt.

Beispiel:

Die Treffer-Nieten-Folge $N N N T N N N N T N$ hat die Wahrscheinlichkeit $p^{2} \cdot (1 - p)^{8}$ .

Schritt 2: die Anzahl von Treffer-Nieten-Folgen mit gleicher Anzahl von Treffern bestimmen

Die Anzahl von Treffer-Nieten-Folgen mit gleicher Anzahl von Treffern lässt sich mit Hilfe von Binomialkoeffizienten beschreiben. Der Binomialkoeffizient $(\binom{n}{k})$ gibt die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten „ $k$ aus $n$ “ an. Wir nutzen diesen Binomialkoeffizienten hier, um die Anzahl der Möglichkeiten von „ $k$ Treffer bei einer Treffer-Nieten-Folge der Länge $n$ “ zu erfassen.

Beispiel:

Es gibt $(\binom{10}{2}) = 45$ Möglichkeiten, genau $2$ Treffer (und $8$ Nieten) bei einer Treffer-Nieten der Länge $10$ zu erzielen.

Beispiel: Es gibt $(\binom{10}{2}) = 45$ Möglichkeiten, genau $2$ Treffer (und $8$ Nieten) bei einer Treffer-Nieten der Länge $10$ zu erzielen.

Mit Hilfe dieser beiden Zusammenhänge erhalten wir folgenden wichtigen Satz:

Formel von Bernoulli:

Gegeben sei eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ . Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $X = k$ bzw. „ $k$ Treffer“:

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$

Hier noch einmal die Formel mit einer Erläuterung der Bestandteile:

$P (\underset{k Treffer}{\underset{⏟}{X = k}}) = \underset{Anzahl der T-N-Folgen mit k Treffern}{\underset{⏟}{(\binom{n}{k})}} \cdot \underset{Wahrscheinlichkeit einer T-N-Folge mit k Treffern}{\underset{⏟}{p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}}}$

Beispiel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge $n = 10$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.25$ gilt für die Wahrscheinlichkeit genau $2$ Treffer zu erzielen:

$P (X = 2) = (\binom{10}{2}) \cdot {0.25}^{2} \cdot {0.75}^{8}$

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