Einstieg - Erwartungswert
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du die erwartete mittlere Trefferanzahl bei Würfelserien bestimmt. Wir greifen die Ergebnisse dieses Abschnitts hier auf und beschäftigen uns mit der etwas verallgemeinerten Fragestellung:
Leitfrage
Wie kann für eine Bernoulli-Kette die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung der Bernoulli-Kette bestimmt werden?
Eine Regel herausfinden
Das folgende Applet berechnet den Erwartungswert von $X$ bei einer Bernoulli-Kette mit voreingestellten Parametern.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
- Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammer angezeigt, wie der Erwartungswert schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew.ggb
Aufgabe 1
Kann der Erwartungswert von $X$ aus den Parametern der zu Grunde liegenden Bernoulli-Kette bestimmt werden?
Kläre diese Frage, indem du verschiedene Parameter ausprobierst. Formuliere eine Regel.
| $n$ | $p$ | $E(X)$ |
| $10$ | $0.35$ | |
| $10$ | $0.05$ | |
| $20$ | $0.35$ | |
| $12$ | $0.5$ | |
| $16$ | $0.75$ | |
| $\dots$ | $\dots$ |
