Zusammenfassung - Erwartungswert einer Binomialverteilung
Die erwartete mittlere Trefferanzahl
Hier geht es um folgende Fragestellung:
Leitfrage
Wie kann für eine Bernoulli-Kette die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung der Bernoulli-Kette vorhergesagt werden?
Wir betrachten eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei der Bernoulli-Kette. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist dann eine Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$.
Die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung der Bernoulli-Kette wird mit dem Erwartungswert von $X$ erfasst. Das folgenden Applet berechnet den Erwartungswert von $X$ für vorgegebene Parameter.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eigestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
- Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammer angezeigt, wie der Erwartungswert schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew.ggb
Die Berechnungen im Applet verdeutlichen folgenden Zusammenhang:
Für den Erwartungswert $E(X)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
$E(X) = n \cdot p$
Im Histogramm zur Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist zu sehen, dass der Erwartungswert $E(X)$ das „Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$“ beschreibt. Beachte, dass der Erwartungswert$E(X)$ kein Wert von $X$ sein muss.
