Exkurs - Binomialansatz bei Stichproben

Einstieg - ein gängiges Vorgehen hinterfragen

Im letzten Abschnitt haben wir das Zufallsexperiment „bei $20$ Kindern beobachten, mit welcher Hand sie bevorzugt schreiben“ als Bernoulli-Kette angesehen und die Wahrscheinlichkeit einer Trefferanzahl mit der passenden Binomialverteilung bestimmt.

Eine entsprechende Situation tritt bei vielen Stichproben auf: Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Merkmal in einer Grundgesamtheit vorkommt ist bekannt. Aus der Grundgesamtheit wird eine Stichprobe entnommen. Nun liegt das Interesse auf Aussagen über das Vorkommen des Merkmals in der Stichprobe und wie diese getroffen werden.

Erarbeitung - Urnenexperimente bei der Klärung verwenden

Wir betrachten folgende konkrete Situation: Die Grundgesamtheit besteht aus $N = 50$ Elementen. Der Anteil der Elemente mit der Eigenschaft „Treffer“ betrage $p = 0.2$. Es sind also $M = 10$ Elemente als Treffer markiert. Aus der Grundgesamtheit wird eine Stichprobe bestehend aus $n = 8$ Elementen entnommen.

Diese Situation lässt sich mit einem Urnenexperiment simulieren.

Aufgabe 1

(a) Erläutere zunächst, wie die Urne befüllt wird und wie oft eine Kugel aus der Urne gezogen wird.

(b) Beim Ziehen einer Kugel gibt es die Möglichkeiten „mit Zurücklegen“ und „ohne Zurücklegen“. Welche dieser Möglichkeiten entspricht normalerweise einer Stichprobenentnahme? Welche dieser Möglichkeiten führt zu einer Bernoulli-Kette? Erläutere die Schwierigkeit, die hier entsteht.

Aufgabe 2

Mit dem folgenden Applet kannst du die Unterschiede zwischen den Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Ziehen mit und ohne Zurücklegen untersuchen.

Zum Herunterladen: vergleich_binomial_hypergeometrisch.ggb

(a) Voreingestellt ist die oben beschriebene Situation. Mache dich mit dem Applet vertraut und erläutere die einzelnen Bestandteile.

(b) Verkleinere $N$ (bis $N = 20$). Beschreibe deine Beobachtungen.

(c) Vergrößere $N$ (bis $N = 2000$). Beschreibe deine Beobachtungen.

(d) Formuliere ein sinnvolles Fazit, das du aus den Experimenten ziehst.

Wenn das Verhältnis die Grundgesamtheit sehr viel größer als die Stichprobe ist, dann ...

Vertiefung - die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ziehen mit Zurücklegen kennst du. Hier kommt die Binomialverteilung ins Spiel:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Beim Ziehen von $n$ Kugeln ohne Zurücklegen wird die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer so bestimmt:

$P(X = k) = \displaystyle{\frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}}$

Hier ist $N$ die Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne und $M = p \cdot N$ der Anteil der als Treffer markierten Kugeln.

Aufgabe 3

Benutze die Formeln, um für die im Applet vorgegebene Situation die Wahrscheinlichkeiten $P(X = 4)$ zu berechnen. Kontrolliere mit den Angaben im Applet.

Aufgabe 4

Deute und erkläre die Formel für das Ziehen ohne Zurücklegen.

• ${\binom{N}{n}}$ beschreibt die Auswahl „$n$ aus $N$“.
• ${\binom{M}{k}}$ beschreibt die Auswahl ...
• ${\binom{N-M}{n-k}}$ beschreibt die Auswahl ...