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Zusammenfassung - Binomialverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Bernoulli-Ketten

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$ ) genannt. Wir sagen auch, dass $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße ist.

Oft wird auch die Schreibweise $B_{n; p} (k)$ statt $P (X = k)$ benutzt. Wir werden im Folgenden in der Regel $P (X = k)$ benutzen und dabei stets voraussetzen, dass $X$ die Trefferanzahl einer Bernoulli-Kette beschreibt.

Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$

Im Applet ist die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ mit einem Histogramm dargestellt. Für jedes $k$ (das entspricht der Trefferanzahl) wird der Wert $P (X = k)$ mit einem Balken dieser Höhe verdeutlicht.

Zum Herunterladen: binomialverteilung2.ggb

Die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ kann auch mit einer Wertetabelle dargestellt werden. Zur Berechnung der Werte für $P (X = k)$ wird die Formel von Bernoulli verwendet.

$k$	$P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$
$0$	$0.1176$
$1$	$0.3025$
$2$	$0.3241$
$3$	$0.1852$
$4$	$0.0595$
$5$	$0.0102$
$6$	$0.0007$

Beachte: In der Praxis werden die Werte von Binomialverteilungen in Tabellenübersichten nachgeschlagen oder können von passenden Programmen berechnet werden. Wir werden hier in der Regel GeoGebra-Applets für diesen Zweck verwenden.

Eigenschaften der Binomielverteilung

Die Parameter $n$ und $p$ einer Binomialverteilung legen die Wahrscheinlichkeitsverteilung fest.

Zum Herunterladen: binomialverteilung3.ggb

Durch Variation von $n$ und $p$ können wir folgende Zusammenhänge beobachten:

Für $p = 0.5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch. Es gilt dann $P (X = k) = P (X = n - k)$ .
Der Parameter $p$ beeinflusst die Lage der maximalen Wahrscheinlichkeit: Je größer $p$ ist, desto weiter rechts liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeiten.
Mit wachsendem $n$ werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen flacher und symmetrischer.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Oft wird nicht die Wahrscheinlichkeit für einen $k$ -Wert (bzw. für eine Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette), sondern für die Gesamtheit aller Werte aus einem Werteintervall benötigt. Mit dem folgenden GeoGebra-Applet können die Intervallgrenzen eingestellt und so direkt die benötigten Wahrscheinlichkeiten erhalten werden.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert1.ggb

Gegeben: Binomialverteilung mit den Parametern $n = 12$ und $p = 0.4$

Gesucht: $P (5 \leq X \leq 8)$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferanzahl zwischen 5 und 8)

Die Wahrscheinlichkeiten müssen wir hier nur geeignet aufsummieren (auch „kumulieren“ genannt).

$P (5 \leq X \leq 8) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) \approx 0.5466$

Analog erhalten wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit für ein Werteintervall:

$P (a \leq X \leq b) = P (X = a) + \dots + P (X = b) = (\binom{n}{a}) \cdot p^{a} \cdot (1 - p)^{n - a} + \dots + (\binom{n}{b}) \cdot p^{b} \cdot (1 - p)^{n - b}$

Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie Wahrscheinlichkeiten für häufig vorkommende Ereignisse auf geeignete kumulierte Intervallwahrscheinlichkeiten zurückgeführt werden. Dabei gehen wir immer von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ zur Länge $n$ aus.

Ereignis - Sprechweise	Ereignis - Schreibweise	Berechnung
höchstens $a$ Treffer	$P (X \leq a)$	$P (X = 0) + P (X = 1) + \dots + P (X = a) =$ $P (0 \leq X \leq a)$
weniger als $a$ Treffer	$P (X < a)$	$P (X = 0) + P (X = 1) + \dots + P (X = a - 1) =$ $P (0 \leq X \leq a - 1) =$ $P (X \leq a - 1)$
mindestens $a$ Treffer	$P (X \geq a)$	$P (X = a) + P (X = a + 1) + \dots + P (X = n) =$ $P (a \leq X \leq n) =$ $1 - P (X \leq a - 1)$
mehr als $a$ Treffer	$P (X > a)$	$P (X = a + 1) + P (X = a + 2) + \dots + P (X = n) =$ $P (a + 1 \leq X \leq n) =$ $1 - P (X \leq a)$
mindestens $a$ und höchstens $b$ Treffer	$P (a \leq X \leq b)$	$P (X = a) + P (X = a + 1) + \dots + P (X = b) =$ $P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)$
mehr als $a$ und weniger als $b$ Treffer	$P (a < X < b)$	$P (X = a + 1) + P (X = a + 2) + \dots + P (X = b - 1) =$ $P (X \leq b - 1) - P (X \leq a)$

Die Tabelle verdeutlicht auch, dass wir bei allen beschriebenen Ereignissen auf kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P (X \leq a)$ zurückgreifen können.

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Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

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