Zusammenfassung - Binomialverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Bernoulli-Ketten
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) genannt. Wir sagen auch, dass $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße ist.
Oft wird auch die Schreibweise $B_{n;p}(k)$ statt $P(X = k)$ benutzt. Wir werden im Folgenden in der Regel $P(X = k)$ benutzen und dabei stets voraussetzen, dass $X$ die Trefferanzahl einer Bernoulli-Kette beschreibt.
Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$
Im Applet ist die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ mit einem Histogramm dargestellt. Für jedes $k$ (das entspricht der Trefferanzahl) wird der Wert $P(X = k)$ mit einem Balken dieser Höhe verdeutlicht.
Zum Herunterladen: binomialverteilung2.ggb
Die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ kann auch mit einer Wertetabelle dargestellt werden. Zur Berechnung der Werte für $P(X = k)$ wird die Formel von Bernoulli verwendet.
| $k$ | $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ |
| $0$ | $0.1176$ |
| $1$ | $0.3025$ |
| $2$ | $0.3241$ |
| $3$ | $0.1852$ |
| $4$ | $0.0595$ |
| $5$ | $0.0102$ |
| $6$ | $0.0007$ |
Beachte: In der Praxis werden die Werte von Binomialverteilungen in Tabellenübersichten nachgeschlagen oder können von passenden Programmen berechnet werden. Wir werden hier in der Regel GeoGebra-Applets für diesen Zweck verwenden.
Eigenschaften der Binomielverteilung
Die Parameter $n$ und $p$ einer Binomialverteilung legen die Wahrscheinlichkeitsverteilung fest.
Zum Herunterladen: binomialverteilung3.ggb
Durch Variation von $n$ und $p$ können wir folgende Zusammenhänge beobachten:
- Für $p = 0.5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch. Es gilt dann $P(X = k) = P(X = n-k)$.
- Der Parameter $p$ beeinflusst die Lage der maximalen Wahrscheinlichkeit: Je größer $p$ ist, desto weiter rechts liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeiten.
- Mit wachsendem $n$ werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen flacher und symmetrischer.
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Oft wird nicht die Wahrscheinlichkeit für einen $k$-Wert (bzw. für eine Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette), sondern für die Gesamtheit aller Werte aus einem Werteintervall benötigt. Mit dem folgenden GeoGebra-Applet können die Intervallgrenzen eingestellt und so direkt die benötigten Wahrscheinlichkeiten erhalten werden.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert1.ggb
Gegeben: Binomialverteilung mit den Parametern $n = 12$ und $p = 0.4$
Gesucht: $P(5 \leq X \leq 8)$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferanzahl zwischen 5 und 8)
Die Wahrscheinlichkeiten müssen wir hier nur geeignet aufsummieren (auch „kumulieren“ genannt).
$P(5 \leq X \leq 8) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \approx 0.5466$
Analog erhalten wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit für ein Werteintervall:
$P(a \leq X \leq b) = P(X = a) + \dots + P(X = b) = \binom{n}{a} \cdot p^a \cdot (1-p)^{n-a} + \dots + \binom{n}{b} \cdot p^b \cdot (1-p)^{n-b}$
Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie Wahrscheinlichkeiten für häufig vorkommende Ereignisse auf geeignete kumulierte Intervallwahrscheinlichkeiten zurückgeführt werden. Dabei gehen wir immer von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ zur Länge $n$ aus.
| Ereignis - Sprechweise | Ereignis - Schreibweise | Berechnung |
| höchstens $a$ Treffer | $P(X \leq a)$ |
$P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = a) =$ $P(0 \leq X \leq a)$ |
| weniger als $a$ Treffer | $P(X \text{ < } a)$ |
$P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = a-1) =$ $P(0 \leq X \leq a-1) =$ $P(X \leq a-1)$ |
| mindestens $a$ Treffer | $P(X \geq a)$ |
$P(X = a) + P(X = a+1) + \dots + P(X = n) =$ $P(a \leq X \leq n) =$ $1 - P(X \leq a-1)$ |
| mehr als $a$ Treffer | $P(X > a)$ |
$P(X = a+1) + P(X = a+2) + \dots + P(X = n) =$ $P(a+1 \leq X \leq n) =$ $1 - P(X \leq a)$ |
| mindestens $a$ und höchstens $b$ Treffer | $P(a \leq X \leq b)$ |
$P(X = a) + P(X = a+1) + \dots + P(X = b) =$ $P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$ |
| mehr als $a$ und weniger als $b$ Treffer | $P(a \text{ < } X \text{ < } b)$ |
$P(X = a+1) + P(X = a+2) + \dots + P(X = b-1) =$ $P(X \leq b-1) - P(X \leq a)$ |
Die Tabelle verdeutlicht auch, dass wir bei allen beschriebenen Ereignissen auf kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P(X \leq a)$ zurückgreifen können.
