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Zusammenfassung - Binomialverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Bernoulli-Ketten

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nennt wird Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) genannt. Wir sagen auch, dass $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße ist.

Oft wird auch die Schreibweise $B_{n;p}(k)$ statt $P(X = k)$ benutzt. Wir werden im Folgenden in der Regel $P(X = k)$ benutzen und dabei stets voraussetzen, dass $X$ die Trefferanzahl einer Bernoulli-Kette beschreibt.

Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$

Im Applet ist die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ mit einem Histogramm dargestellt. Für jedes $k$ (das entspricht der Trefferanzahl) wird der Wert $P(X = k)$ mit einem Balken dieser Höhe verdeutlicht.

Zum Herunterladen: binomialverteilung2.ggb

Die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ kann auch mit einer Wertetabelle dargestellt werden. Zur Berechnung der Werte für $P(X = k)$ wird die Formel von Bernoulli verwendet.

$k$ $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$0$ $0.1176$
$1$ $0.3025$
$2$ $0.3241$
$3$ $0.1852$
$4$ $0.0595$
$5$ $0.0102$
$6$ $0.0007$

Beachte: In der Praxis werden die Werte von Binomialverteilungen in Tabellenübersichten nachgeschlagen oder können von passenden Programmen berechnet werden. Wir werden hier in der Regel GeoGebra-Applets für diesen Zweck verwenden.

Eigenschaften der Binomielverteilung

Die Parameter $n$ und $p$ einer Binomialverteilung legen die Wahrscheinlichkeitsverteilung fest.

Zum Herunterladen: binomialverteilung3.ggb

Durch Variation von $n$ und $p$ werden folgende Zusammenhänge beobachtet:

  • Für $p = 0.5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch. Es gilt dann $P(X = k) = P(X = n-k)$.
  • Der Parameter $p$ beeinflusst die Lage der maximalen Wahrscheinlichkeit: Je größer $p$ ist, desto weiter rechts liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeiten.
  • Mit wachsendem $n$ werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen flacher und symmetrischer.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Oft wird nicht die Wahrscheinlichkeit für einen $k$-Wert (bzw. für eine Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette), sondern für die Gesamtheit aller Werte aus einem Werteintervall benötigt. Mit dem folgenden GeoGebra-Applet können die Intervallgrenzen eingestellt und so direkt die benötigten Wahrscheinlichkeiten erhalten werden.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert1.ggb

Geg.: Binomialverteilung mit den Parametern $n = 12$ und $p = 0.4$

Ges.: $P(5 \leq X \leq 8)$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferanzahl zwischen 5 und 8)

Die Wahrscheinlichkeiten muss hier nur geeignet aufsummiert werden (auch „kumulieren“ genannt).

$P(5 \leq X \leq 8) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \approx 0.5466$

Analog wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit für ein Werteintervall erhalten:

$P(a \leq X \leq b) = P(X = a) + \dots + P(X = b) = \binom{n}{a} \cdot p^a \cdot (1-p)^{n-a} + \dots + \binom{n}{b} \cdot p^b \cdot (1-p)^{n-b}$

Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie Wahrscheinlichkeiten für häufig vorkommende Ereignisse auf geeignete kumulierte Intervallwahrscheinlichkeiten zurückgeführt werden. Dabei gehen wir immer von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ zur Länge $n$ aus.

Ereignis - Sprechweise Ereignis - Schreibweise Berechnung
höchstens $a$ Treffer $P(X \leq a)$ $P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = a) =$
$P(0 \leq X \leq a)$
weniger als $a$ Treffer $P(X \text{ < } a)$ $P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = a-1) =$
$P(0 \leq X \leq a-1) =$
$P(X \leq a-1)$
mindestens $a$ Treffer $P(X \geq a)$ $P(X = a) + P(X = a+1) + \dots + P(X = n) =$
$P(a \leq X \leq n) =$
$1 - P(X \leq a-1)$
mehr als $a$ Treffer $P(X > a)$ $P(X = a+1) + P(X = a+2) + \dots + P(X = n) =$
$P(a+1 \leq X \leq n) =$
$1 - P(X \leq a)$
mindestens $a$ und höchstens $b$ Treffer $P(a \leq X \leq b)$ $P(X = a) + P(X = a+1) + \dots + P(X = b) =$
$P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$
mehr als $a$ und weniger als $b$ Treffer $P(a \text{ < } X \text{ < } b)$ $P(X = a+1) + P(X = a+2) + \dots + P(X = b-1) =$
$P(X \leq b-1) - P(X \leq a)$

Die Tabelle verdeutlicht auch, dass bei allen beschriebenen Ereignissen auf kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P(X \leq a)$ zurückgegriffen werden kann.

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