Übungen - Bernoulli-Ketten

Aufgabe 1

Betrachte das 10-malige Werfen einer Münze. Das Ergebnis „Kopf“ wird als Treffer gewertet. Mit der Zufallsgröße $X$ wird die Anzahl der Treffer erfasst.

(a) Beschreibe das Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette (der Länge ... mit der Trefferwahrscheinlichkeit ...).

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5-mal einen Treffer zu erzielen? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Treffer (und 9 Nieten) zu erzielen? Was berücksichtigt die folgende Rechnung nicht? Erläutere.

$P(X = 1) = \underbrace{0.5}_{\text{Treffer}} \cdot \underbrace{0.5^9}_{\text{Nieten}} \approx \dots$

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 10 Treffer zu erzielen? Stimmt die folgende Rechnung? Erläutere.

$P(X = 0) = \underbrace{0.5^{10}}_{\text{Treffer}} \approx \dots$

Aufgabe 2

Betrachte das mehrfache Werfen eines Würfels. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Dokumentiere jeweils genau, welche Bernoulli-Kette betrachtet wird, und wie die Rechnung erfolgt.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Werfen des Würfels keine 6 zu erhalten?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Werfen des Würfels genau 4-mal die 4 zu erhalten?

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 8-maligen Werfen des Würfels genau 4-mal die 4 zu erhalten?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 3-maligen Werfen des Würfels genau 1-mal die 1 zu erhalten?

Aufgabe 3

Beim Biathlon wird versucht, mit 5 Schüssen alle 5 Scheiben zu treffen. Das gelingt oft aber nicht, da die Belastung nach einer Laufrunde sehr hoch ist.

D. hat eine Trefferquote von 90% im Liegendschießen und 80% im Stehendschießen.

(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass D. 4 der 5 Scheiben im Liegendschießen bzw. im Stehendschießen trifft.

(b) Beim sogenannten Massenstart findet 2-mal ein Liegendschießen und 2-mal ein Stehendschießen statt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass D. alle 20 Scheiben trifft?

Aufgabe 4

Eine Schule mit 200 Oberstufenschüler(innen) und 300 Mittelstufenschüler(innen) hat 5 Freikarten für ein Konzert erhalten. Diese Freikarten sollen per Losverfahren an die Schüler(innen) verteilt werden. Hierzu wird eine (digitale) Urne benutzt, die mit den Namen der Schüler(innen) gefüllt ist.

Zunächst muss festgelegt werden, ob das Ziehen der (digitalen) Namenskarten mit oder ohne Zurücklegen erfolgt.

(a) Erläutere kurz den Unterschied aus praktischer Sicht, wenn das Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen erfolgt.

(b) Betrachte das Ziehen mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Karten an Oberstufenschüler(innen) und 3 Karten an Mittelstufenschüler(innen) gehen? Beschreibe das Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette und bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.

Kontrolle

5-mal Ziehen mit Zurücklegen: Wenn „Oberstufenschüler(in)“ als Treffer betrachtet wird, dann handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge $n = 5$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.4$. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer. Dann gilt:

$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^3 \approx 0.346$.

(c) Betrachte das Ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Karten an Oberstufenschüler(innen) und 3 Karten an Mittelstufenschüler(innen) gehen?

Begründe zunächst, dass bei diesem Vorgehen die Formel von Bernoulli nicht anwendbar ist.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann wie folgt argumentiert werden: Alle Möglichkeiten werden durch eine Auswahl „5 aus 500“ erhalten. Wenn 2 Karten an Oberstufenschüler(innen) und 3 Karten an Mittelstufenschüler(innen) gehen sollen, dann muss die Auswahl „2 aus 200“ (für die Oberstufenschüler(innen)) mit der Auswahl „3 aus 300“ (für die Mittelstufenschüler(innen)) kombiniert werden. Bestimme so die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Kontrolle

$P(X = 2) = \displaystyle{\frac{\binom{200}{2} \cdot \binom{300}{3}}{\binom{500}{5}}} \approx 0.347$

(d) Berechne analog die Ergebnisse, wenn die Karten unter nur 20 Oberstufenschüler(innen) und 30 Mittelstufenschüler(innen) verlost werden. Vergleiche jeweils die Ergebnisse für das Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Was fällt dir auf?