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Einstieg - Begriffbildung

Vom Galton-Brett ausgehen

Im letzten Abschnitt hast du Experimente mit einem (simulierten) Galton-Brett durchgeführt. Das Applet zeigt eine typische Situation nach $1000$ Durchführungen eines Kugellaufs bei $10$ Stabreihen und einer Rechtswahrscheinlichkeit $p = 0.6$.

Zum Herunterladen: galton2.ggb

Der Kugellauf kann als Bernoulli-Kette angesehen werden. Ein Treffer ist dabei eine Bewegung rechts am Stab vorbei.

Zum Herunterladen: binomialverteilung1.ggb

Aufgabe 1

Stelle die Werte für $n$ und $p$ im Applet so ein, dass sie einem Kugellauf im Galton-Brett entsprechen. Vergleiche anschließend die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ zur Bernoulli-Kette mit den relativen Häufigkeiten der Kugelbehälter. Den $k$-Wert kannst du mit dem schwarzen Dreieck auf der $k$-Achse variieren. Beschreibe den Zusammenhang.

Den Fokus auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung lenken

Wir richten den Fokus jetzt auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten. Wegen ihrer besonderen Bedeutung erhält diese Wahrscheinlichkeitsverteilung einen eigenen Namen.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) genannt. Wir sagen auch, dass $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße ist.

Oft wird auch die Schreibweise $B_{n;p}(k)$ statt $P(X = k)$ benutzt. Wir werden im Folgenden in der Regel $P(X = k)$ benutzen und dabei stets voraussetzen, dass $X$ die Trefferanzahl einer Bernoulli-Kette beschreibt.

Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$

Aufgabe 2

(a) Erzeuge mit dem Applet ein Histogramm zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$.

Zum Herunterladen: binomialverteilung1.ggb

(b) Verwende das Applet, um die Wertetabelle für die Binomialverteilung mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.3$ zu vervollständigen.

$k$ $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$ $0.0007$

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