Vertiefung
Zur Orientierung
Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Fragestellung:
Leitfrage
Wie kann für einen Pyramidenwürfel und ein gewähltes Trefferergebnis die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung von Würfelserien mit $10$ Würfelwürfen bestimmt werden?
Einen theoretischen Ansatz verwenden
Das wiederholte Werfen eines Pyramidenwürfels stelle eine Bernoulli-Kette dar.
Aufgabe 1
Betrachte eine Würfelserie aus $10$ Würfen eines Pyramidenwürfels mit dem Trefferergebnis $1$. Deute dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette.
- Länge der Benoulli-Kette: $n = \dots$
- Treffer: Augenzahl ...
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p = \dots$
Aufgabe 2
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe, wie üblich, die Anzahl der Treffer bei der Bernoulli-Kette (zur Würfelserie mit dem Pyramidenwürfel).
Der Erwartungswert von $X$ beschreibt dann die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung der Bernoulli-Kette (zur Würfelserie mit dem Pyramidenwürfel).
Das folgende Applet berechnet diesen Erwartungswert.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
- Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammer angezeigt, wie der Erwartungswert schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew.ggb
(a) Stelle im Applet die passenden Parameter für eine Würfelserie aus $10$ Würfen eines Pyramidenwürfels mit dem Trefferergebnis $1$ ein.
(b) Vergleiche den angezeigten Erwartungswert mit der experimentell bestimmten mittleren Trefferanzahl aus dem letzten Abschnitt.
Aufgabe 3
Bestimme analog den Erwartungswert für die mittlere Trefferanzahl beim Werfen eines Pyramidenwürfels für das Trefferergebnis $6$.
