Vertiefung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Fragestellung:

Einen theoretischen Ansatz verwenden

Das wiederholte Werfen eines Pyramidenwürfels stelle eine Bernoulli-Kette dar.

Aufgabe 1

Betrachte eine Würfelserie aus $10$ Würfen eines Pyramidenwürfels mit dem Trefferergebnis $1$. Deute dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette.

• Länge der Benoulli-Kette: $n=\dots$
• Treffer: Augenzahl ...
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p=\dots$

Aufgabe 2

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe, wie üblich, die Anzahl der Treffer bei der Bernoulli-Kette (zur Würfelserie mit dem Pyramidenwürfel).

Der Erwartungswert von $X$ beschreibt dann die erwartete mittlere Trefferanzahl bei der wiederholten Durchführung der Bernoulli-Kette (zur Würfelserie mit dem Pyramidenwürfel).

Das folgende Applet berechnet diesen Erwartungswert.

Anleitung für das Applet

• Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
• Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
• Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammer angezeigt, wie der Erwartungswert schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew.ggb

(a) Stelle im Applet die passenden Parameter für eine Würfelserie aus $10$ Würfen eines Pyramidenwürfels mit dem Trefferergebnis $1$ ein.

(b) Vergleiche den angezeigten Erwartungswert mit der experimentell bestimmten mittleren Trefferanzahl aus dem letzten Abschnitt.

Aufgabe 3

Bestimme analog den Erwartungswert für die mittlere Trefferanzahl beim Werfen eines Pyramidenwürfels für das Trefferergebnis $6$.