Zusammenfassung - Standardabweichung einer Binomialverteilung
Die erwartete Abweichung von der mittleren Trefferanzahl
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich ganz grob mit zwei Kenngrößen charakterisieren:
- Der Erwartungswert $E(X)$ beschreibt das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.
- Die Standardabweichung $\sigma(X)$ beschreibt die erwartete Abweichung der Wahrscheinlichkeitswerte vom Erwartungswert.
Das folgenden Applet verdeutlicht zusätzlich zum Erwartungswert $E(X)$ die Standardabweichung $\sigma(X)$ für eine vorgegebene binomialverteilte Zufallsgröße $X$.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
- Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammern angezeigt, wie der Erwartungswert bzw. die Standardabweichnung schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb
Es gilt folgender Zusammenhang:
Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
Der Erwartungswert und Vielfache der Standardabweichung einer Zufallsgröße $X$ werden genutzt, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit Hilfe von Intervallwahrscheinlichkeiten grob zu charakterisieren.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1\cdot\sigma$, $2\cdot\sigma$ und $3\cdot\sigma$.
- Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
- Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb
Folgende Regeln können experimentell bestätigt werden:
Für $\sigma(X) > 3$ werden folgende Näherungswerte für die betrachteten Intervallwahrscheinlichkeiten erhalten:
$P(\mu-1\cdot\sigma\leq X \leq\mu+1\cdot\sigma) \approx 68\%$
$P(\mu-2\cdot\sigma\leq X \leq\mu+2\cdot\sigma) \approx 95.5\%$
$P(\mu-3\cdot\sigma\leq X \leq\mu+3\cdot\sigma) \approx 99.7\%$
