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Zusammenfassung - Standardabweichung einer Binomialverteilung

Die erwartete Abweichung von der mittleren Trefferanzahl

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich ganz grob mit zwei Kenngrößen charakterisieren: Der Erwartungswert $E(X)$ beschreibt das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$, die Standardabweichung $\sigma(X)$ die erwartete Abweichung der Wahrscheinlichkeitswerte vom Erwartungswert.

Das folgenden Applet verdeutlicht zusätzlich zum Erwartungswert $E(X)$ die Standardabweichung $\sigma(X)$ für eine vorgegebene binomialverteilte Zufallsgröße $X$.

Anleitung für das Applet
  • Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
  • Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
  • Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammern angezeigt, wie der Erwartungswert bzw. die Standardabweichnung schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb

Es gilt folgender Zusammenhang:

Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Der Erwartungswert und Vielfache der Standardabweichung einer Zufallsgröße $X$ werden genutzt, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit Hilfe von Intervallwahrscheinlichkeiten grob zu charakterisieren.

Anleitung für das Applet
  • Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
  • Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1\cdot\sigma$, $2\cdot\sigma$ und $3\cdot\sigma$.
  • Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
  • Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb

Folgende Regeln können experimentell bestätigt werden:

Für $\sigma(X) > 3$ werden folgende Näherungswerte für die betrachteten Intervallwahrscheinlichkeiten erhalten:

$P(\mu-1\cdot\sigma\leq X \leq\mu+1\cdot\sigma) \approx 68\%$

$P(\mu-2\cdot\sigma\leq X \leq\mu+2\cdot\sigma) \approx 95.5\%$

$P(\mu-3\cdot\sigma\leq X \leq\mu+3\cdot\sigma) \approx 99.7\%$

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