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Zusammenfassung - Standardabweichung einer Binomialverteilung

Die erwartete Abweichung von der mittleren Trefferanzahl

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich ganz grob mit zwei Kenngrößen charakterisieren:

Der Erwartungswert $E (X)$ beschreibt das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
Die Standardabweichung $σ (X)$ beschreibt die erwartete Abweichung der Wahrscheinlichkeitswerte vom Erwartungswert.

Das folgenden Applet verdeutlicht zusätzlich zum Erwartungswert $E (X)$ die Standardabweichung $σ (X)$ für eine vorgegebene binomialverteilte Zufallsgröße $X$ .

Anleitung für das Applet

Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$ -Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammern angezeigt, wie der Erwartungswert bzw. die Standardabweichnung schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb

Es gilt folgender Zusammenhang:

Für die Standardabweichung $σ (X)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$σ (X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$

Der Erwartungswert und Vielfache der Standardabweichung einer Zufallsgröße $X$ werden genutzt, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit Hilfe von Intervallwahrscheinlichkeiten grob zu charakterisieren.

Anleitung für das Applet

Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung eingestellt. Diese Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
Mit Hilfe von Vielfachen der Standardabweichung $σ$ kann ein Intervall um den Erwartungswert $μ$ eingestellt werden. Wir betrachten hier nur die Vielfachen $1 \cdot σ$ , $2 \cdot σ$ und $3 \cdot σ$ .
Das betrachtete Intervall wird im Histogramm angezeigt.
Zusätzlich wird die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit berechnet und angezeigt.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb

Folgende Regeln können experimentell bestätigt werden:

Für $σ (X) > 3$ werden folgende Näherungswerte für die betrachteten Intervallwahrscheinlichkeiten erhalten:

$P (μ - 1 \cdot σ \leq X \leq μ + 1 \cdot σ) \approx 68 %$

$P (μ - 2 \cdot σ \leq X \leq μ + 2 \cdot σ) \approx 95.5 %$

$P (μ - 3 \cdot σ \leq X \leq μ + 3 \cdot σ) \approx 99.7 %$

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Die erwartete Abweichung von der mittleren Trefferanzahl

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