Überprüfung - Bernoulli-Ketten

Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich $10$ rote und $15$ blaue Kugeln. Aus der Urne werden $6$ Kugeln (mit bzw. ohne Zurücklegen) gezogen. Beobachtet wird die Abfolge der Kugelfarben.

(a) Begründe: Beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, beim 6-maligen Ziehen ohne Zurücklegen jedoch nicht.

(b) Eine Bernoulli-Kette wird mit ihrer Länge und der Trefferwahrscheinlichkeit beschrieben. Gib diese Kenngrößen für das 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen an.

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen genau $3$ rote Kugeln zu ziehen? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen nur rote Kugeln zu ziehen? Zeige, dass diese Wahrscheinlichkeit auch ohne die Formel von Bernoulli berechnet werden kann.

(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen genau eine rote Kugel zu ziehen? Kann diese Wahrscheinlichkeit so berechnet werden? Begründe.

$P(X=1)=0.4\cdot {0.6}^5\approx \dots$