Überprüfung - Bernoulli-Ketten

Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich $10$ rote und $15$ blaue Kugeln. Aus der Urne werden $6$ Kugeln (mit bzw. ohne Zurücklegen) gezogen. Beobachtet wird die Abfolge der Kugelfarben.

(a) Begründe: Beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, beim 6-maligen Ziehen ohne Zurücklegen jedoch nicht.

(b) Eine Bernoulli-Kette wird mit ihrer Länge und der Trefferwahrscheinlichkeit beschrieben. Gib diese Kenngrößen für das 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen an.

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen genau $3$ rote Kugeln zu ziehen? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli.

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen nur rote Kugeln zu ziehen? Zeige, dass diese Wahrscheinlichkeit auch ohne die Formel von Bernoulli berechnet werden kann.

(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen genau eine rote Kugel zu ziehen? Kann diese Wahrscheinlichkeit so berechnet werden? Begründe.

$P(X = 1) = 0.4 \cdot 0.6^5 \approx \dots$

Kontrolle

(a) Bei einer Bernoulli-Kette muss jedes Teilexperiment ein Bernoulli-Experiment mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit sein. Diese Bedingung ist beim 6-maligen Ziehen mit Zurücklegen erfüllt (Treffer: rote Kugel). Beim 6-maligen Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich dagegen die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse nach jedem Teilexperiment.

(b) 6-mal Ziehen mit Zurücklegen: Wenn „rote Kugel“ als Treffer betrachtet wird, dann handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge $n = 6$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.4$.

(c) Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer. Dann gilt: $P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^3 \approx 0.28$.

(d) Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer. Dann gilt: $P(X = 6) = 0.4^6 \approx 0.004$.

(e) Nein. Hier wird nicht berücksichtigt, dass die rote Kugel als erste oder zweite oder ... gezogen werden kann.