Überprüfung - Binomialverteilung
Aufgabe 1
Das Applet zeigt das Histogramm zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 10$ und $p = 0.5$.
Zum Herunterladen: binomialverteilung4.ggb
Welche Aussage ist korrekt? Begründe die Aussage bzw. korrigiere sie.
(a) Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das Ergebnis der aufsummierten Säulenhöhen beträgt $1$.
(b) Der Wert $P(X = 3)$ beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$.
(c) $P(X = 3)$ kann so berechnet werden: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^7$.
(d) Bei der betrachteten Binomialverteilung gilt $P(X = 3) = P(X = 7)$.
(e) $P(X = 3)$ kann auch so bestimmt werden: $P(X = 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 2)$.
Kontrolle
(a) Das stimmt. Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$. Die Säulenhöhen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$. Ihre Summe ergibt $1$ - wie bei allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
(b) Das stimmt nicht. Der Wert $P(X = 3)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$3$ Treffer“ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$.
(c) Das stimmt auch nicht. Korrekt ist: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7$.
(d) Das stimmt. Die Säulenhöhen für $P(X = 3)$ und $P(X = 7)$ sind gleich hoch. Dies wird auch mit der Formel von Bernoulli erhalten: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7 = \binom{10}{7} \cdot 0.5^7 \cdot 0.5^3 = P(X = 7)$
(e) Das stimmt. Es ist $P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ und $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$. Hieraus folgt direkt $P(X = 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 2)$.
