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Überprüfung - Binomialverteilung

Aufgabe 1

Das Applet zeigt das Histogramm zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 10$ und $p = 0.5$ .

Zum Herunterladen: binomialverteilung4.ggb

Welche Aussagen sind korrekt? Begründe die Aussagen bzw. korrigiere sie.

(a) Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das Ergebnis der aufsummierten Säulenhöhen beträgt $1$ .

(b) Der Wert $P (X = 3)$ beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$ .

(c) $P (X = 3)$ kann so berechnet werden: $P (X = 3) = (\binom{10}{3}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{7}$ .

(d) Bei der betrachteten Binomialverteilung gilt $P (X = 3) = P (X = 7)$ .

(e) $P (X = 3)$ kann auch so bestimmt werden: $P (X = 3) = P (X \leq 3) - P (X \leq 2)$ .

Kontrolle

(a) Das stimmt. Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ . Die Säulenhöhen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$ . Ihre Summe ergibt $1$ - wie bei allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

(b) Das stimmt nicht. Der Wert $P (X = 3)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ $3$ Treffer“ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$ .

(c) Das stimmt auch nicht. Korrekt ist: $P (X = 3) = (\binom{10}{3}) \cdot {0.5}^{3} \cdot {0.5}^{7}$ .

(d) Das stimmt. Die Säulenhöhen für $P (X = 3)$ und $P (X = 7)$ sind gleich hoch. Dies erhalten wir auch mit der Formel von Bernoulli: $P (X = 3) = (\binom{10}{3}) \cdot {0.5}^{3} \cdot {0.5}^{7} = (\binom{10}{7}) \cdot {0.5}^{7} \cdot {0.5}^{3} = P (X = 7)$

(e) Das stimmt. Es ist $P (X \leq 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)$ und $P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)$ .
Hieraus folgt direkt: $P (X = 3) = P (X \leq 3) - P (X \leq 2)$ .

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