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Überprüfung - Binomialverteilung

Aufgabe 1

Das Applet zeigt das Histogramm zur Binomialverteilung mit den Parametern $n = 10$ und $p = 0.5$.

Zum Herunterladen: binomialverteilung4.ggb

Welche Aussage ist korrekt? Begründe die Aussage bzw. korrigiere sie.

(a) Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das Ergebnis der aufsummierten Säulenhöhen beträgt $1$.

(b) Der Wert $P(X = 3)$ beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$.

(c) $P(X = 3)$ kann so berechnet werden: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^7$.

(d) Bei der betrachteten Binomialverteilung gilt $P(X = 3) = P(X = 7)$.

(e) $P(X = 3)$ kann auch so bestimmt werden: $P(X = 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 2)$.

Kontrolle

(a) Das stimmt. Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$. Die Säulenhöhen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$. Ihre Summe ergibt $1$ - wie bei allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

(b) Das stimmt nicht. Der Wert $P(X = 3)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$3$ Treffer“ bei einer Bernoulli-Kette der Länge $10$.

(c) Das stimmt auch nicht. Korrekt ist: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7$.

(d) Das stimmt. Die Säulenhöhen für $P(X = 3)$ und $P(X = 7)$ sind gleich hoch. Dies wird auch mit der Formel von Bernoulli erhalten: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7 = \binom{10}{7} \cdot 0.5^7 \cdot 0.5^3 = P(X = 7)$

(e) Das stimmt. Es ist $P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ und $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$. Hieraus folgt direkt $P(X = 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 2)$.

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