Erarbeitung - Standardabweichung

Zur Orientierung

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße $X$ beschreibt den erwarteten mittleren Wert von $X$ und liefert so eine erste Kenngröße zur Beschreibung der erwarteten Werte von $X$.

Häufig wird zusätzlich zum Erwartungswert eine weitere Kenngröße zur Charakterisierung der erwarteten Werte von $X$ benutzt. Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X erfasst, wie stark die Werte einer Zufallsgröße im Mittel um ihren Erwartungswert streuen.

Standardabweichungen experimentell untersuchen

Das folgende Applet verdeutlicht den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$.

Anleitung für das Applet

• Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
• Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
• Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammern angezeigt, wie der Erwartungswert bzw. die Standardabweichnung schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb

Aufgabe 1

Erläutere mit Hilfe des Applets:
Mit der Standardabweichung $\sigma(X)$ und dem Erwartungswert $E(X)$ kann eine Art „mittlerer Bereich“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ beschrieben werden. In diesem „mittleren Bereich“ liegen die wahrscheinlichsten Werte von $X$.

Aufgabe 2

Überprüfe die folgende Formel exemplarisch für mindestens 3 Binomialverteilungen:

$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$