Erarbeitung - Standardabweichung
Zur Orientierung
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße $X$ beschreibt den erwarteten mittleren Wert von $X$ und liefert so eine erste Kenngröße zur Beschreibung der erwarteten Werte von $X$.
Häufig wird zusätzlich zum Erwartungswert eine weitere Kenngröße zur Charakterisierung der erwarteten Werte von $X$ benutzt. Mit der Standardabweichung $X$ wird die erwartete Abweichung der Werte von $X$ vom erwarteten Mittelwert beschrieben.
Standardabweichungen experimentell untersuchen
Das folgende Applet verdeutlicht den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$.
Anleitung für das Applet
- Mit den Schiebereglern ganz oben werden die Parameter der betrachteten Bernoulli-Kette eingestellt. Die zugehörige Binomialverteilung wird im Histogramm unten dargestellt.
- Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ zur Trefferanzahl wird berechnet und angezeigt.
- Wird $k$ von $0$ bis zum eingestellten $n$-Wert bewegt, dann wird unterhalb der geschwungenen Klammern angezeigt, wie der Erwartungswert bzw. die Standardabweichnung schrittweise aus den Werten von $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet wird.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb
Aufgabe 1
Erläutere mit Hilfe des Applets: Mit der Standardabweichung $\sigma(X)$ und dem Erwartungswert $E(X)$ kann eine Art „mittlerer Bereich“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ beschrieben werden. In diesem „mittleren Bereich“ liegen die wahrscheinlichsten Werte von $X$.
Aufgabe 2
Überprüfe die folgende Formel exemplarisch für mindestens 3 Binomialverteilungen.
$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$