Bremsvorgang

Aufgabe

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit vom $50$ km/h (bzw. $\frac{50}{1.8}$ m/s). Mit der Funktionenschar $v_{k}(t) = k \cdot (t^3 - 7.5t^2)+ \frac{50}{1.8}$ wird ein Bremsvorgang im Zeitintervall $0 \le t \le 5$ modelliert. Im Applet werden die modellierten Bremsvorgänge verdeutlicht.

Zum Herunterladen: bremsvorgang1.ggb

(a) Kläre folgende Fragen:

• Warum kann der im Applet gezeigte Funktionsgraph zur Funktion $v_{0.2}$ als Bremsvorgang gedeutet werden?
• Wann beginnt der Bremsvorgang, wann endet er?
• Kommt das Auto beim gezeigten Bremsvorgang zum Stillstand?
• Warum kann man den Bremsvorgang als eher sanft und nicht ruckartig einstufen?
• Welche Rolle spielt der variierbare Parameter $k$ für den Bremsvorgang?
• Liefern alle Werte von $k$ einen sinnvollen Bremsvorgang?

(b) Zeige, dass $v_{k}$ unabhängig vom Parameter $k$ einen Hochpunkt an der Stelle $t = 0$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $t = 5$ hat. Bestimme auch die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes (in Abhängigkeit von $k$).

(c) Ermittle (experimentell und rechnerisch) den $k$-Wert, bei dem das Auto zur Zeit $t = 5$ genau zum Stillstand kommt.

(d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem der momentane Geschwindigkeitsrückgang jeweils maximal ist.

Zur Kontrolle

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(0 | \frac{50}{1.8})$. Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(5 | -\frac{125}{2}k + \frac{250}{9})$.

Für $k = \frac{4}{9}$ kommt das Auto zum Zeitpunkt $t = 5$ zum Stehen. Der Tiefpunkt hat dann die Koordinaten $(5 | 0)$.

Den maximalen momentanen Geschwindigkeitsrückgang erhält man im Wendepunkt von Graph $v_{k}$. Der Wendepunkt wird zum Zeitpunkt $t = 2.5$ erreicht.