Die Zielfunktion
Die Quaderoberfläche mit einer Funktion beschreiben
Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem optimale Getränketüte
Wie muss man eine quaderförmige 1-Liter-Getränketüte mit quadratischer Grundfläche dimensionieren, um eine minimale Oberfläche zu erhalten?
Wir strukturieren das Optimierungsproblem und beschreiben es mit Fachbegriffen:
Optimierungsproblem: Optimale Milchtüte
Bei einem Optimierungsproblemen geht es (in den hier betrachteten Fällen) darum, eine bestimmte Variationsgröße so zu wählen, dass eine Zielfunktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht. Im aktuellen Beispiel gilt:
- Variationsgröße: Die Seitenlänge der Grundfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche kann variiert werden.
- Extremalbedingung: Die Oberfläche des Quaders soll minimal werden.
- Nebenbedingung: Es soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche entstehen. Das Volumen des Quaders soll 1 Liter bzw. $1000$ [cm3] betragen.
- Zielfunktion: Der Oberflächeninhalt $O(x)$, wobei die Länge $x$ der quadratischen Grundseite die Ausgangsgröße darstellt.
Das Problem besteht jetzt darin, das Minimum der Zielfunktion zu bestimmen.
Die Zielfunktion bestimmen
Das Applet unter der folgenden Aufgabe verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion. Mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse kannst du die Länge $x$ der Grundseite variieren.
Aufgabe 1
(a) Leite mithilfe der Nebenbedingung eine Formel für die Höhe des Quaders her: $h = ...$.
(b) Erkläre, wie man zur Funktionsgleichung $O(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1000}{x^2}$ für die Oberfläche des Quaders gelangt.
(c) Gib die Definitionsmenge der Funktion $O(x)$ an. Kläre hierzu, für welche $x$-Werte ein Quader erstellt werden kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $O$ im Applet unter der Aufgabe.
(d) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $O(x)$ aus so darstellen kann: $O(x) = 2x^2 + \frac{4000}{x} = 2x^2 + 4000x^{-1}$.
Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb
Das gesuchte Optimum bestimmen
Mithilfe der Zielfunktion lässt sich das Optimierungsproblem exakt lösen.
Aufgabe 2
Mit der Darstellung $O(x) = 2x^2 + 4000x^{-1}$ kannst du jetzt den Tiefpunkt von Graph $O$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Gleichungstool
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
