Die Zielfunktion

Die Quaderoberfläche mit einer Funktion beschreiben

Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.

Wir strukturieren das Optimierungsproblem und beschreiben es mit Fachbegriffen:

Die Zielfunktion bestimmen

Das Applet unter der folgenden Aufgabe verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion. Mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse kannst du die Länge $x$ der Grundseite variieren.

Aufgabe 1

(a) Leite mithilfe der Nebenbedingung eine Formel für die Höhe des Quaders her: $h=...$.

(b) Erkläre, wie man zur Funktionsgleichung $O(x)=2\cdot x^2+4\cdot x\cdot \frac{1000}{x^2}$ für die Oberfläche des Quaders gelangt.

(c) Gib die Definitionsmenge der Funktion $O(x)$ an. Kläre hierzu, für welche $x$-Werte ein Quader erstellt werden kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $O$ im Applet unter der Aufgabe.

(d) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $O(x)$ aus so darstellen kann: $O(x)=2x^2+\frac{4000}{x}=2x^2+4000x^{-1}$.

Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb

Das gesuchte Optimum bestimmen

Mithilfe der Zielfunktion lässt sich das Optimierungsproblem exakt lösen.

Aufgabe 2

Mit der Darstellung $O(x)=2x^2+4000x^{-1}$ kannst du jetzt den Tiefpunkt von Graph $O$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.