Das Optimierungsproblem
Das Optimierungsproblem präzisieren
Aus $20$ Meter Zaun soll ein rechteckiges Gehege mit größt möglichem Flächeninhalt gebaut werden. Mit Beispielrechnungen oder dem Applet stellt man direkt fest, dass die gewählten Abmessungen des Rechtecks einen Einfluss auf den Flächeninhalt haben. Wenn beide Rechteckseiten gleich lang sind, dann scheint das Optimum erreicht zu sein.
Zum Herunterladen: rechtecke1.ggb
Ziel der Untersuchungen in den weiteren Abschnitten ist es, das Optimierungsproblem mit verschiedenen Strategien zu lösen. Hierzu ist es erforderlich, das Problem zunächst präzise zu formulieren.
Den Kontext "Gehegebau" kann man bei der Mathematisierung weglassen. Es geht ja primär um die Bestimmung eines optimalen Rechtecks.
Aufgabe 1
(a) Kläre folgende Fragen zum Optimierungsproblem:
- Welche Größe wird hier (im Applet) variiert und führt so zu unterschiedlichen Rechtecken?
- Welche Größe soll optimiert (hier maximiert) werden?
- Welche zusätzliche Bedingung müssen alle Rechtecke erfüllen?
(b) Nutze die Überlegungen aus Aufgabenteil (a), um das Optimierungsproblem zu strukturieren.
Optimierungsproblem optimale Rechtecke
Wie muss man ein Rechteck mit dem Umfang von $20$ Längeneinheiten dimensionieren,
um eine möglichst große Fläche zu erhalten?Variationsgröße: Die Länge der einen Seite eines Rechtecks soll so eingestellt werden, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Extremalbedingung: ...
Nebenbedingung: ...
