Die Extremwertbestimmung
Den Hochpunkt der Zielfunktion bestimmen
Wir betrachten die Zielfunktion zum Problem "optimale Schachtel".
Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb
Für diese Zielfunktion gilt: $V(x) = 4x^3 - 101.4x^2 + 623.7x$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } 10.5$.
Den Hochpunkt von Graph $V$ erhält man mit einem Standardverfahren.
Aufgabe 1
Bestimme die Ableitungsfunktion $V'(x)$.
Kontrolle
$V'(x) = 12x^2 - 202.8x + 623.7$
Aufgabe 2
Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $V'(x)$. Benutze das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Kontrolle
$x \approx 4.04$ und $x \approx 12.86$
Aufgabe 3
Bestimme den Hochpunkt von Graph $V$.
Kontrolle
Den Hochpunkt erhält man an der Stelle $x \approx 4.04$. Das sieht man direkt am Graph.
An der Stelle $x \approx 12.86$ hat die entsprechende Funktion mit einer erweiterten Definitionsmenge einen Tiefpunkt.
Beides lässt sich direkt mit der 2. Ableitung $V''(x)$ nachweisen.
Die $y$-Koordinate des Hochpunktes erhält man, indem man $x \approx 4.04$ in $V(x)$ einsetzt. Es ergibt sich der Punkt
$H(4.04 | 1128.49)$.
Aufgabe 4
Deute das Ergebnis im Kontext "Schachtelbau".
Kontrolle
Den Hochpunkt erhält man an der Stelle $x \approx 4.04$. Das sieht man direkt am Graph.
An der Stelle $x \approx 12.86$ hat die entsprechende Funktion mit einer erweiterten Definitionsmenge einen Tiefpunkt.
Beides lässt sich direkt mit der 2. Ableitung $V''(x)$ nachweisen.
Für die Einschneidetiefe $x \approx 4.04$ [cm] bei einem DIN-A4-Blatt erhält man eine Schachtel mit einem maximalen Volumen.
Dieses Volumen beträgt $V(x) \approx 1128.49$ [cm3].
