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Die Extremwertbestimmung

Den Hochpunkt der Zielfunktion bestimmen

Wir betrachten die Zielfunktion zum Problem "optimale Schachtel".

Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb

Für diese Zielfunktion gilt: $V(x) = 4x^3 - 101.4x^2 + 623.7x$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } 10.5$.

Den Hochpunkt von Graph $V$ erhält man mit einem Standardverfahren.

Aufgabe 1

Bestimme die Ableitungsfunktion $V'(x)$.

$V'(x) = 12x^2 - 202.8x + 623.7$

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $V'(x)$. Benutze das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

$x \approx 4.04$ und $x \approx 12.86$

Aufgabe 3

Bestimme den Hochpunkt von Graph $V$.

Den Hochpunkt erhält man an der Stelle $x \approx 4.04$. Das sieht man direkt am Graph. An der Stelle $x \approx 12.86$ hat die entsprechende Funktion mit einer erweiterten Definitionsmenge einen Tiefpunkt. Beides lässt sich direkt mit der 2. Ableitung $V''(x)$ nachweisen.

Die $y$-Koordinate des Hochpunktes erhält man, indem man $x \approx 4.04$ in $V(x)$ einsetzt. Es ergibt sich der Punkt $H(4.04 | 1128.49)$.

Aufgabe 4

Deute das Ergebnis im Kontext "Schachtelbau".

Für die Einschneidetiefe $x \approx 4.04$ [cm] bei einem DIN-A4-Blatt erhält man eine Schachtel mit einem maximalen Volumen. Dieses Volumen beträgt $V(x) \approx 1128.49$ [cm3].

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