Die Extremwertbestimmung
Den Hochpunkt der Zielfunktion bestimmen
Ziel dieser Seite
Auf dieser Seite wird das Optimierungsproblem zur „optimalen Schachtel“ schrittweise gelöst. Wenn du ohne die Hilfestellungen auf dieser Seite auskommst, nutze sie nur zum Vergleichen.
Aufgabe 1
In einem ersten Schritt sollte die Ableitung der Zielfunktion bestimmt werden. Erkläre am Applet unter der Aufgabe, warum das sinnvoll ist.
Anleitung für das Applet
Das Applet verdeutlicht die Zielfunktion zum Problem „optimale Schachtel“. Mit dem Punkt $X$ im unteren Fenster kannst du die
Einschneidetiefe $x$ variieren. Im oberen Fenster werden dann die zugeordneten Werte $V(x)$ grafisch dargestellt.
Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb
Aufgabe 2
Es gilt: $V(x) = 4x^3 - 101.4x^2 + 623.7x$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } 10.5$.
Bestimme die Ableitungsfunktion $V'(x)$.
Kontrolle
$V'(x) = 12x^2 - 202.8x + 623.7$
Aufgabe 3
Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $V'(x)$. Benutze ggf. das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Kontrolle
$x \approx 4.04$ und $x \approx 12.86$
Aufgabe 4
Bestimme den Hochpunkt von $V$.
Kontrolle
Den Hochpunkt erhält man an der Stelle $x \approx 4.04$. Das sieht man direkt am Graph.
An der Stelle $x \approx 12.86$ hat die entsprechende Funktion mit einer erweiterten Definitionsmenge einen Tiefpunkt.
Beides lässt sich direkt mit der 2. Ableitung $V''(x)$ nachweisen.
Die $y$-Koordinate des Hochpunktes erhält man, indem man $x \approx 4.04$ in $V(x)$ einsetzt. Es ergibt sich der Punkt
$H(4.04 | 1128.49)$.
Aufgabe 5
Deute das Ergebnis im Kontext „Schachtelbau“.
Kontrolle
Für die Einschneidetiefe $x \approx 4.04$ [cm] bei einem DIN-A4-Blatt erhält man eine Schachtel mit einem maximalen Volumen.
Dieses Volumen beträgt $V(x) \approx 1128.49$ [cm3]. Das entspricht ca. 1.1 Litern.
