Lösung mit einer Zielfunktion

Eine Zielfunktion zum Optimierungsproblem entwickeln

Das Applet verdeutliche sehr gut: Wenn man die Länge des Rechtecks verändert, dann ändert sich hierdurch auch die Breite und der zu optimierende Flächeninhalt.

Zum Herunterladen: rechtecke1.ggb

Zur Bearbeitung des Optimierungsproblems betrachten wir die Zielfunktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:

Ausgangsgröße: die Länge $x$ des Rechtecks (die variiert werden kann)

Zugeordnete Größe: der Flächeninhalt $A(x)$ des Rechtecks mit der Länge $x$ (der maximiert werden soll)

Aufgabe 1

Entwickle eine Funktionsgleichung für die Funktion $A$. Gib auch die zur Situation passende Definitionsmenge der Funktion an.

Kontrolle

$A(x)=x\cdot (10-x)=10x-x^2$ mit $0\text{ < }x\text{ < }10$

Aufgabe 2

(a) Begründe: Die Funktion $A$ ist eine nach unten geöffnete quadratische Funktion.

(b) Bestimme den Hochpunkt der Funktion $A$. Nutze hierfür die Ableitung.

(c) Bestimme den Hochpunkt der Funktion $A$ mit einer alternativen Strategie. Gehe z.B. so vor: Die Funktion $A$ hat die Nullstellen ... und .... Da eine Parabel immer symmetrisch ist ....

Aufgabe 3

Löse mit den Überlegungen aus Aufgabe 2 das Optimierungsproblem.