Lösung mit einer Zielfunktion
Eine Zielfunktion zum Optimierungsproblem entwickeln
Das Applet verdeutliche sehr gut: Wenn man die Länge des Rechtecks verändert, dann ändert sich hierdurch auch die Breite und der zu optimierende Flächeninhalt.
Zum Herunterladen: rechtecke1.ggb
Zur Bearbeitung des Optimierungsproblems betrachten wir die Funktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:
Ausgangsgröße: die Länge $x$ des Rechtecks (die variiert werden kann)
Zugeordnete Größe: der Flächeninhalt $A(x)$ des Rechtecks mit der Länge $x$ (der maximiert werden soll)
Aufgabe 1
Entwickle eine Funktionsgleichung für die Funktion $A$. Gib auch die zur Situation passende Definitionsmenge der Funktion an.
$A(x) = x \cdot (10-x) = 10x - x^2$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } 10$
Aufgabe 2
(a) Begründe: Die Funktion $A$ ist eine nach unten geöffnete quadratische Funktion.
(b) Bestimme den Hochpunkt der Funktion $A$. Nutze hierfür die Ableitung.
(c) Bestimme den Hochpunkt der Funktion $A$ mit einer alternativen Strategie. Gehe z.B. so vor: Die Funktion $A$ hat die Nullsten ... und .... Da eine Parabel immer symmetrisch ist ....
Aufgabe 3
Löse mit den Überlegungen aus Aufgabe 2 das Optimierungsproblem.
