Verbesserung der Modellierung

Eine reale Milchtüte untersuchen

Wir betrachten eine reale Milchtüte – so, wie man sie in jedem Lebensmittelladen vorfindet.

Wenn man sie aufschneidet, sieht man, wie das Kartonmaterial hier zugeschnitten wird. Wir berücksichtigen diese Kartonstruktur im folgenden Netz einer Milchtüte.

• Wir gehen davon aus, dass sich die Milch nur im Quaderteil der Milchtüte befindet (also nicht im oberen Ausgussteil).
• Die Ausmaße des Quaders bezeichnen wir weiterhin mit $x$ (für die Länge der quadratischen Grundseite) und $h$ (für die Höhe) des Quaders.
• Das Volumen des Quaders soll $1000$ [cm³] betragen.
• Für die Unterseite benötigt man Rechteckteile mit der Länge $x$ und einer halb so großen Breite $x/2$.
• Für den Ausguss benötigt man Rechteckteile, die ebenfalls die Länge $x$ haben und eine Breite, die etwas größer als $x/2$ ist. Wir verwenden hier die Breite $x/2+1$.
• Zum Verkleben benötigt man Seitenstreifen mit einer Breite 1 [cm].
• Die Ausmaße $a$ und $b$ eines Kartonbogens ergeben sich aus diesen Werte und können alle in Abhängigkeit von $x$ angegeben werden.

Aufgabe 1

(a) Gib eine Formel für $a$ an: $a=...$.

(b) Gib eine Formel für $b$ an: $b=...$.

(c) Nutze diese Formeln, um die Zielfunktion festzulegen.

$A(x)=...$ mit $...\text{ < }x\text{ < }...$.

Die Zielfunktion beschreibt den Flächeninhalt des Kartonbogens in Abhängigkeit von der variablen Seitenlänge $x$.