Beispiel 8

Aufgabe

Betrachte die Funktionenschar $f_{a}(x) = - \frac{1}{8}a x^4 + \frac{1}{2}a x^3 + 2$ mit $a \in \mathbb{R}^{+}$. Im Applet kannst du dir Graphen dieser Funktionenschar erzeugen.

Zum Herunterladen: beispiel8.ggb

(a) Zeige, dass die Graphen aller Funktionen der Funktionenschar durch die Punkte $(0|2)$ und $(4|2)$ verlaufen.

(b) Untersuche, ob die Graphen aller Funktionen der Funktionenschar weitere gemeinsame Punkte haben.

(c) Zeige, dass Graph $f_{a}$ unabhängig vom Parameter $a$ einen Hochpunkt an der Stelle $x = 3$ hat. Bestimme auch die $y$-Koordinate des Hochpunktes in Abhängigkeit von $a$. Ergänze den folgenden Satz: Wenn man $a$ (wie im Applet) um $0.05$ erhöht, dann wächst die Höhe des Hochpunktes um den Betrag ...

(d) Im Applet sind zusätzlich zum Graph $f_{a}$ zwei blaue Halbgeraden $h_0$ und $h_1$ dargestellt. Graph $f_{a}$ soll in den Punkten $(0|2)$ und $(4|2)$ ohne Knick in die Halbgeraden $h_0$ und $h_1$ übergehen. Begründe, dass der Übergang von Graph $f_{a}$ in die Halbgerade $h_0$ unabhängig von $a$ immer ohne Knick erfolgt. Bestimme $a$ so, dass auch der Übergang von Graph $f_{a}$ in die Halbgerade $h_1$ ohne Knick erfolgt. Um welchen Wert überragt der Hochpunkt dann die gemeinsamen Punkte?