Beispiel 5
Aufgabe
Betrachte die Funktionenschar $f_{a}(x) = \frac{1}{3} x^3 - a \cdot x \cdot(x+1)$ mit $a \in \mathbb{R}$. Im Applet kannst du dir für einige der Funktionen die Graphen erzeugen. Variiere den Parameter $a$. Was fällt auf? Beschreibe zunächst die beobachteten Phänomene. Bearbeite anschließend die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: beispiel5.ggb
(a) Zeige, dass die Funktion $f_{a}$ unabhängig vom Parameter $a$ immer einen Wendepunkt hat. Auf welcher Kurve bewegt sich der Wendepunkt, wenn man $a$ variiert?
(b) Ermittle, für welche $a$-Werte die Funktion $f_{a}$ lokale Extrema hat.
(c) Zeige, dass sich die alle Graphen von Funktionen der Funktionenschar $f_{a}$ in genau zwei Punkten schneiden. Bestimme hierzu die Schnittpunkte von $f_{a_1}$ und $f_{a_2}$ für zwei beliebige Parameter $a_1$ und $a_2$ mit $a_1 \neq a_2$.
