Zusammenfassung
Ein Optimierungsproblem lösen
Optimierungsprobleme
Bei einem Optimierungsproblemen geht es (in den hier betrachteten Fällen) darum, eine bestimmte Variationsgröße so zu wählen, dass eine Zielfunktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht. Im aktuellen Beispiel gilt:
- Variationsgröße: Die Einschneidetiefe kann variiert werden.
- Extremalbedingung: Die Variationsgröße soll so eingestellt werden, dass das Volumen der Schachtel maximal wird.
- Nebenbedingung: Die Schachtel wird aus einem DIN-A4-Blatt erstellt, indem an den vier Ecken gleich große Quadrate abgeschnitten und die entstehenden Laschen nach oben geklappt werden.
- Zielfunktion: Das Volumen $V(x)$ der Schachtel.
Beim Aufstellen der Zielfunktion sind die Extremal- und Nebenbedingung hilfreich. Oft hilft es, sich erst Gedanken über die Ausgangsgröße und die zugeordnete Größe zu machen. Hier gilt:
- Ausgangsgröße: die Einschneidetiefe $x$ (die variiert werden kann)
- Zugeordnete Größe: das Volumen $V(x)$ der Schachtel zur Einschneidetiefe $x$ (das optimiert) werden soll
Das Problem besteht jetzt darin, das Maximum der Zielfunktion zu bestimmen.
Wir sind zur Lösung des Problems so vorgegangen:
Klärung des Optimierungsproblems: Das Problem wird klar beschrieben. Dabei wird präzisiert, welche Größe maximiert oder minimiert werden soll.
Entwicklung der Zielfunktion: Mithilfe einer Zielfunktion wird mathematisch beschrieben, wie die zu optimierende Größe von einer variablen Grundgröße abhängt.
Bestimmung lokaler Extrema: Mithilfe geeigneter Kriterien werden die Hoch- bzw. Tiefpunkte zur Zielfunktion bestimmt. Hieraus ergibt sich dann (in der Regel) der Wert der Grundgröße, bei dem man das gesuchte Optimum erhält.
Deutung der Ergebnisse: Die Ergebnisse aus Schritt 3 werden im vorgegebenen Sachkontext gedeutet.
Modellierungskreislauf
Dieses Vorgehen wird (in ähnlicher Form) nicht nur bei Optimierungsproblemen genutzt, sondern allgemein, wenn Mathematik in Anwendungskontexten verwendet wird. Im Zentrum steht dabei das Wechselspiel aus Realität und Mathematik. Man spricht dabei von Modellierung. Das folgende Schaubild stellt den Zusammenhang dar:
