Das Optimierungsproblem - Version 2
Das Optimierungsproblem abändern
Die Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt sind in der Praxis nicht brauchbar, weil es klare Vorgaben für eine 400-Meter-Laufbahn gibt. Der Radius der Kurve und die Länge der Laufgerade sind genau festgelegt.
Wenn man ein Fußball-Spielfeld in eine solche Laufbahn integrieren will, dann muss man die geometrische Konstellation abändern.
Es ergibt sich das etwas abgewandelte Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem ("optimales Spielfeld"): Wie muss man ein Spielfeld innerhalb einer 400-Meter Laufbahn dimensionieren, um eine maximale Spielfläche zu erhalten?
Variationsgröße: Der Verlängerung der Laufgerade soll so eingestellt werden, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Extremalbedingung: Die Fläche des Spielfeldes soll maximal werden.
Nebenbedingung: Die Breite des Spielfeldes soll so angepasst werden, dass das Spielfeld genau in die Laufbahn passt.
Aufgabe 1
Entwickle eine Zielfunktion, mit der man die zu optimierende Größe in Abhängigkeit der variablen Grundgröße beschreibt.
Nutze den Satz des Pythagoras, um $y$ in Abhängigkeit von $x$ und dem Radius $r = 36.5$ darzustellen.
$A(x) = (84.4 + 2x) \cdot (2 \sqrt{36.5^2 - x^2})$
Aufgabe 2
Bei der Bestimmung des Hochpunktes der Zielfunktion tritt die Schwierigkeit auf, dass du die Zielfunktion mit den dir bekannten Ableitungsregeln nicht ableiten kannst. Nutze daher zum Ableiten das Ableitungstool und ggf. anschließend das Gleichungstool.
Ableitungstool:
Zum Herunterladen: ableitungstool.ggb
Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung:
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Aufgabe 3
Bestimme mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2 die Abmessungen (Länge und Breite) des optimalen Spielfeldes. Vergleiche mit den Vorgaben des DFB.
- minimal: Länge 90m; Breite 45m
- maximal: Länge 120m; Breite 90m
Aufgabe 4
Für internationale Spiele hat die UEFA folgende Abmessungen eines Spielfeldes festgelegt:
- genau: Länge 105m; Breite 68m
Vergleiche die Fläche eines solchen Standard-Spielfeldes mit dem aus Aufgabe 3.
