Untersuchung der Funktionenschar
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde eine Funktionenschar zur flexiblen Modellierung einer Populationsentwicklung eingeführt. In diesem Abschnitt werden die charakteristischen Eigenschaften dieser Funktionenschar untersucht.
Funktionseigenschaften bei einer Funktionenschar bestimmen
Wir betrachten die etwas verallgemeinerte Funktionenschar aus dem letzten Abschnitt. Beachte, dass der Parameter $a$ jetzt eine für eine beliebige positive reelle Zahl steht.
Funktionenschar zur Beschreibung von Populationsentwicklungen
$f_{a}(x) = -x^3 + a \cdot x^2$ mit $0 \lt a \lt \infty$
Die Graphen die Funktionenschar werden – zumindest in einem kleinen Ausschnitt – im Applet dargestellt.
Zum Herunterladen: insektenpopulation2.ggb
Aufgabe 1
(a) Bestimme die Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit vom Parameter $a$.
(b)
Deute die Nullstellen im Kontext Entwicklung einer Blattlauspopulation
.
Aufgabe 2
(a) Bestimme die Extrempunkte von $f_{a}$ in Abhängigkeit vom Parameter $a$. Gehe genauso vor wie bei Funktionen ohne Parameter. Beachte stets, dass $a$ für eine Zahl aus dem Intervall $0 \lt a \lt \infty$ steht.
(b)
Deute die Koordinaten des Hochpunkts im Kontext Entwicklung einer Blattlauspopulation
.
Aufgabe 3
Erläutere die Vorteile, die sich durch die Verwendung einer Funktionenschar bei der Modellierung der Populationsentwicklung ergeben.
