Zusammenfassung
Ein Optimierungsproblem lösen
Optimierungsproblem: Optimale Milchtüte
Bei einem Optimierungsproblemen geht es (in den hier betrachteten Fällen) darum, eine bestimmte Variationsgröße so zu wählen, dass eine Zielfunktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht. Im aktuellen Beispiel gilt:
- Variationsgröße: Die Seitenlänge der Grundfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche kann variiert werden.
- Extremalbedingung: Die Oberfläche des Quaders soll minimal werden.
- Nebenbedingung: Es soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche entstehen. Das Volumen des Quaders soll 1 Liter bzw. $1000$ [cm3] betragen.
- Zielfunktion: Der Oberflächeninhalt $O(x)$, wobei die Länge $x$ der quadratischen Grundseite die Ausgangsgröße darstellt.
Das Problem besteht jetzt darin, das Minimum der Zielfunktion zu bestimmen.
Wir sind zur Lösung des Problems so vorgegangen:
Klärung des Optimierungsproblems: Das Problem wird klar beschrieben. Dabei wird präzisiert, welche Größe maximiert oder minimiert werden soll.
Entwicklung der Zielfunktion: Mithilfe einer Zielfunktion wird mathematisch beschrieben, wie die zu optimierende Größe von einer variablen Grundgröße abhängt.
Bestimmung lokaler Extrema: Mithilfe geeigneter Kriterien werden die Hoch- bzw. Tiefpunkte zur Zielfunktion bestimmt. Hieraus ergibt sich dann (in der Regel) der Wert der Grundgröße, bei dem man das gesuchte Optimum erhält.
Deutung der Ergebnisse: Die Ergebnisse aus Schritt 3 werden im vorgegebenen Sachkontext gedeutet.
Modellierungskreislauf
Dieses Vorgehen wird (in ähnlicher Form) nicht nur bei Optimierungsproblemen genutzt, sondern allgemein, wenn Mathematik in Anwendungskontexten verwendet wird. Im Zentrum steht dabei das Wechselspiel aus Realität und Mathematik. Man spricht dabei von Modellierung. Das folgende Schaubild stellt den Zusammenhang dar:
In der aktuellen Fallstudie lieferte ein erster Modellierungsansatz Ergebnisse, die überhaupt nicht zur Wirklichkeit passen. Wir haben daher einen zweiten, verbesserten Modellierungsansatz gewählt, der die realen Verhältnisse zum Materialbedarf bei der Herstellung von Milchtüten besser berücksichtigt. Ein solches mehrfaches Durchlaufen der Modellierungsschritte erklärt den Begriff Modellierungskreislauf.
