Beispiel 2

Aufgabe

Betrachte die Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a}(x) = \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{2} a x^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Im Applet kannst du dir für einige der Funktionen die Graphen erzeugen. Bearbeite anschließend die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: beispiel2.ggb

(a) Variiere den Parameter $a$. Was fällt auf? Beschreibe zunächst die beobachteten Phänomene und stelle Vermutungen auf. Betrachte dabei die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von Graph $f_{a}$.

(b) Bestimme die Nullstellen sowie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von Graph $f_{a}$ in Abhängigkeit vom Parameter $a$. Überprüfe mit den Ergebnissen deine Vermutungen.

(c) Blende das Dreieck ein. Begründe, dass das Dreieck aus den Schnittpunkten mit der $x$-Achse und dem Wendepunkt für ein beliebiges $a$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Bestimme (experimentell und rechnerisch) die $a$-Werte, für die das Dreieck den Flächeninhalt $A = 8$ hat.

Zur Kontrolle

$f_{a}$ hat die Nullstellen $x = 0$ und $x = 2a$.

$f_{a}$ hat einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $(\frac{3}{2}a|-\frac{27}{64}a^4)$.

$f_{a}$ hat für $a \neq 0$ einen Sattelpunkt mit den Koordinaten $(0|0)$ und einen Wendepunkt mit den Koordinaten $(a|-\frac{1}{4}a^4)$.