Die Extremwertbestimmung
Den Tiefpunkt der Zielfunktion bestimmen
Ziel dieser Seite
Auf dieser Seite wird das Optimierungsproblem zur „optimalen Milchtüte“ schrittweise gelöst. Wenn du ohne die Hilfestellungen auf dieser Seite auskommst, nutze sie nur zum Vergleichen.
Aufgabe 1
In einem ersten Schritt sollte die Ableitung der Zielfunktion bestimmt werden. Erkläre am Applet unter der Aufgabe, warum das sinnvoll ist.
Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb
Aufgabe 2
Es gilt: $O(x) = 2x^2 + \frac{4000}{x} = 2x^2 + 4000x^{-1}$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } \infty$.
Erklärung zur Zielfunktion
Die Oberfläche setzt sich aus den beiden Grundflächen $2 \cdot x^2$ und den vier Seitenflächen $4 \cdot x \cdot h$ zusammen.
Mit der Nebenbedingung $x^2 \cdot h = 1000$ erhält man $h = \frac{1000}{x^2}$. Die vier Seitenflächen liefern somit den Beitrag
von $4 \cdot x \cdot \frac{1000}{x^2} = \frac{4000}{x}$ zur Gesamtoberfläche.
Eine Milchtüte kann man nur für positive $x$-Werte bauen. Der $x$-Wert kann dabei beliebig klein oder beliebig groß werden.
Die Höhe muss dann entsprechend angepasst werden (siehe Applet).
Bestimme die Ableitungsfunktion $O'(x)$.
Kontrolle
$O'(x) = 4x + (-1)\cdot 4000 \cdot x^{-2} = 4x - \frac{4000}{x^2} $
Aufgabe 3
Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $O'(x)$. Benutze nur bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Kontrolle
$O'(x) = 0$ $\Leftrightarrow$
$4x - \frac{4000}{x^2} = 0$ $\Leftrightarrow$
$4x = \frac{4000}{x^2}$ $\Leftrightarrow$
$x = \frac{1000}{x^2}$ $\Leftrightarrow$
$x^3 = 1000$ $\Leftrightarrow$
$x = 10$
Aufgabe 4
Bestimme den Tiefpunkt von $O$.
Kontrolle
Dass $O$ an der Stelle $x = 10$ einen Tiefpunkt hat, sieht man direkt am Graph.
Das lässt sich auch mit der 2. Ableitung $O''(x)$ nachweisen.
Die $y$-Koordinate des Tiefpunktes erhält man, indem man $O(10)$ berechnet. Es ergibt sich der Punkt
$T(10 | 600)$.
Aufgabe 5
Deute das Ergebnis im Kontext „Milchtüte“.
Kontrolle
Für die Grundseitenlänge $x = 10$ [cm] erhält man eine Milchtüte mit einer minimaler Oberfläche.
Die Milchtüte wird dabei vereinfacht als Quader mit quadratischer Grundfläche betrachtet.
Die Oberfläche beträgt $O(x) = 600$ [cm2].
