Bedingungen an die Funktion

Einen Funktionstyp wählen

Wir betrachten weiterhin die Prognosen der UN zur weiteren Entwicklung der Weltbevölkerungszahl. Ziel ist es den „Übergang von blau nach grün“ und den „Übergang von blau nach gelb“ mit einer Funktionsgleichung zu modellieren.

Der erste Schritt bei diesem Modellierungsprozess besteht darin, einen Funktionstyp zu wählen, mit dem man den Kurvenverlauf eventuell erzeugen kann. Klar ist, dass für den betrachteten Übergang keine lineare Funktion in Frage kommt. Geeigneter erscheinen ganzrationale Funktionen vom Grad 3, da sie bei passender Wahl der Vorfaktoren der Potenzen Graphen mit genau einem Tief-, Wende- und Hochpunkt ergeben. Das kannst du im Abschnitt Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 noch einmal nachschlagen.

Im Applet ist der Funktionstyp daher mit einer allgemeinen Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen vom Grad 3 vorgegeben (siehe unteres Fenster; zur Vereinfachung der Eingabe wird hier die Schreibweise $a3$ statt $a_3$ benutzt):

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$

Für konkrete Werte für $a_0, a_1, a_2, a_3$ wird im Applet auch bereits ein Graph angezeigt (Graph $h$ – grün eingefärbt). Der Graph passt so aber noch nicht für den „Übergang von blau nach grün“.

Zum Herunterladen: modellierung_bevoelkerungsentwicklung1.ggb

Im Applet (siehe unteres Fenster) sind zusätzlich Bedingungen an die Funktion $f$ vorgegeben:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad f(-2) & = & 6 \\ [2] &\quad f''(-2) & = & 0 \\ [3] &\quad f(4) & = & 9 \\ [4] &\quad f'(4) & = & 0 \end{array}$

Ziel der folgenden Aufgaben ist es, diese Bedingungen und ihr Zusammenspiel mit dem Verlauf von Graph $f$ zu verstehen.

Aufgabe 1

(a) Ergänze: Die Bedingung $f(-2) = 6$ beschreibt, dass Graph $f$ durch den Punkt ... verläuft. Teste im Applet, indem du die Bedingung im unteren Fenster abänderst.

(b) Ergänze analog: Die Bedingung $f(4) = 9$ beschreibt, dass Graph $f$ durch den Punkt ... verläuft.

(c) Die Bedingung $f'(4) = 0$ beschreibt, dass Graph $f$ an der Stelle $4$ die Steigung $0$ hat. Kann man hieraus erschließen, dass Graph $f$ an der Stelle $4$ einen Hochpunkt hat? Teste zur Kontrolle auch folgende Bedingungen: $f(-2) = 6, f''(-2) = 0, f(4) = 2, f'(4) = 0$. Wie ist die vorgegebene Bedingung $f'(4) = 0$ zu deuten? Ergänze hierzu: Wenn Graph $f$ an der Stelle $4$ einen Hochpunkt haben soll, dann muss die Bedingung ... erfüllt sein.

(d) Ergänze: Wenn Graph $f$ an der Stelle $-2$ einen Wendepunkt haben soll, dann muss die Bedingung ... erfüllt sein.

Aufgabe 2

Ändere die Bedingungen im Applet jetzt so ab, dass der „Übergang von blau nach grün“ bzw. der „Übergang von blau nach gelb“ (in einem bestimmten Bereich näherungsweise) mit der betreffenden Funktion beschrieben wird.

Aufgabe 3

Ganz genau lassen sich die Graphen der UN mit dem bisher benutzten Ansatz noch nicht erfassen. Man könnte natürlich jetzt auf die Idee kommen, weitere Bedingungen vorzugeben. Probiere das im Applet aus. Es funktioniert so noch nicht. Warum das so ist und wie man es besser machen kann, erfährst du im nächsten Abschnitt.