Bedingungen an die Funktion
Einen Funktionstyp wählen
Wir betrachten weiterhin die Prognosen der UN zur weiteren Entwicklung der Weltbevölkerungszahl. Ziel ist es den „Übergang von blau nach grün“ und den „Übergang von blau nach gelb“ mit einer Funktionsgleichung zu modellieren.
Der erste Schritt bei diesem Modellierungsprozess besteht darin, einen Funktionstyp zu wählen, mit dem man den Kurvenverlauf eventuell erzeugen kann. Klar ist, dass für den betrachteten Übergang keine lineare Funktion in Frage kommt. Geeigneter erscheinen ganzrationale Funktionen vom Grad 3, da sie bei passender Wahl der Vorfaktoren der Potenzen Graphen mit genau einem Tief-, Wende- und Hochpunkt ergeben. Das kannst du im Abschnitt Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 noch einmal nachschlagen.
Im Applet ist der Funktionstyp daher mit einer allgemeinen Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen vom Grad 3 vorgegeben (siehe unteres Fenster; zur Vereinfachung der Eingabe wird hier die Schreibweise
Für konkrete Werte für
Zum Herunterladen: modellierung_bevoelkerungsentwicklung1.ggb
Im Applet (siehe unteres Fenster) sind zusätzlich Bedingungen an die Funktion
Ziel der folgenden Aufgaben ist es, diese Bedingungen und ihr Zusammenspiel mit dem Verlauf von Graph
Aufgabe 1
(a) Ergänze: Die Bedingung
(b) Ergänze analog: Die Bedingung
(c) Die Bedingung
(d) Ergänze: Wenn Graph
Aufgabe 2
Ändere die Bedingungen im Applet jetzt so ab, dass der „Übergang von blau nach grün“ bzw. der „Übergang von blau nach gelb“ (in einem bestimmten Bereich näherungsweise) mit der betreffenden Funktion beschrieben wird.
Aufgabe 3
Ganz genau lassen sich die Graphen der UN mit dem bisher benutzten Ansatz noch nicht erfassen. Man könnte natürlich jetzt auf die Idee kommen, weitere Bedingungen vorzugeben. Probiere das im Applet aus. Es funktioniert so noch nicht. Warum das so ist und wie man es besser machen kann, erfährst du im nächsten Abschnitt.