Lineares Gleichungssystem
Bedingungen in Gleichungen überführen
Im letzten Abschnitt wurde eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften modelliert. Wir betrachten zunächst grob vereinfachte Zahlenwerte um die Rechnungen einfacher zu gestalten.
Funktionstyp: ganzrationale Funktion vom Grad 3
$f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
Bedingungen an die Funktion:
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad f(0) & = & 6 \\ [2] &\quad f''(0) & = & 0 \\ [3] &\quad f(5) & = & 9 \\ [4] &\quad f'(5) & = & 0 \end{array}$
Aus den Bedingungen lassen sich jetzt Gleichungen herleiten.
Aufgabe 1
(a) Die Bedingung $f(0) = 6$ lässt sich in eine Gleichung übersetzen. Erläutere das Vorgehen.
- Bedingung: $f(0) = 6$
- Einsetzung: $a_3 \cdot 0^3 + a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = 6$
- Vereinfachung: $a_0 = 6$
(b) Gehe analog bei der Bedingung $f(5) = 9$ vor.
- Bedingung: $f(5) = 9$
- Einsetzung: ...
- Vereinfachung: ...
(c) Betrachte die Bedingung $f'(5) = 0$. Nutze die Ableitung $f'(x) = 3a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$, um auch hier eine Gleichung zu erzeugen.
- Bedingung: $f'(5) = 0$
- Einsetzung: ...
- Vereinfachung: ...
(d) Gehe analog bei der Bedingung $f''(0) = 0$ vor.
- Bedingung: $f''(0) = 0$
- Einsetzung: ...
- Vereinfachung: ...
Das Gleichungssystem lösen
Die Bedingungen liefern ein Gleichungssystem, das im vorliegenden Fall aus 4 linearen Gleichungen besteht.
Bedingungen:
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad f(0) & = & 6 \\ [2] &\quad f''(0) & = & 0 \\ [3] &\quad f(5) & = & 9 \\ [4] &\quad f'(5) & = & 0 \end{array}$
Lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad & & & & & & a_0 & = & 6 \\ [2] &\quad & & 2a_2 & & & & & = & 0 \\ [3] &\quad 125a_3 & + & 25a_2 & + & 5a_1 & + & a_0 & = & 9 \\ [4] &\quad 75a_3 & + & 10a_2 & + & a_1 & & & = & 0 \end{array}$
Aufgabe 2
(a) Das vorliegende Gleichungssystem kannst du durch geschicktes Einsetzen selbst lösen.
Zur Kontrolle kannst du das folgende LGS-Tool benutzen. Werte die Zeile 5 mit der [Return]-Taste aus.
Zum Herunterladen: lgs_loesen.ggb
(b) Entwickle ein lineares Gleichungssystem für realistischere Bedingungen (passend zu einem der UN-Graphen) und löse es mit dem LGS-Tool. Zur Kontrolle: Du solltest dann dieselben Ergebnisse erhalten wie im Applet im vorherigen Abschnitt.
Hinweis
Im Kapitel Lineare Gleichungssysteme erfährst du, wie man beim Lösen linearer Gleichungssysteme systematisch vorgeht.
