Lineares Gleichungssystem

Bedingungen in Gleichungen überführen

Im letzten Abschnitt wurde eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften modelliert. Wir betrachten zunächst grob vereinfachte Zahlenwerte um die Rechnungen einfacher zu gestalten.

Funktionstyp: ganzrationale Funktion vom Grad 3

$f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Bedingungen an die Funktion:

$\begin{array}{lrcr}[1]& f(0)& =& 6\\ [2]& f^{″}(0)& =& 0\\ [3]& f(5)& =& 9\\ [4]& f^{\prime }(5)& =& 0\end{array}$

Aus den Bedingungen lassen sich jetzt Gleichungen herleiten.

Aufgabe 1

(a) Die Bedingung $f(0)=6$ lässt sich in eine Gleichung übersetzen. Erläutere das Vorgehen.

• Bedingung: $f(0)=6$
• Einsetzung: $a_3\cdot 0^3+a_2\cdot 0^2+a_1\cdot 0+a_0=6$
• Vereinfachung: $a_0=6$

(b) Gehe analog bei der Bedingung $f(5)=9$ vor.

• Bedingung: $f(5)=9$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

(c) Betrachte die Bedingung $f^{\prime }(5)=0$. Nutze die Ableitung $f^{\prime }(x)=3a_3{x}^2+2a_{2}x+a_1$, um auch hier eine Gleichung zu erzeugen.

• Bedingung: $f^{\prime }(5)=0$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

(d) Gehe analog bei der Bedingung $f^{″}(0)=0$ vor.

• Bedingung: $f^{″}(0)=0$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

Das Gleichungssystem lösen

Die Bedingungen liefern ein Gleichungssystem, das im vorliegenden Fall aus 4 linearen Gleichungen besteht.

Aufgabe 2

(a) Das vorliegende Gleichungssystem kannst du durch geschicktes Einsetzen selbst lösen.

Zur Kontrolle kannst du das folgende LGS-Tool benutzen.

Zum Herunterladen: lgs_loesen.ggb

(b) Entwickle ein lineares Gleichungssystem für realistischere Bedingungen (passend zu einem der UN-Graphen) und löse es mit dem LGS-Tool. Zur Kontrolle: Du solltest dann dieselben Ergebnisse erhalten wie im Applet im vorherigen Abschnitt.

Hinweis

Im Kapitel Lineare Gleichungssysteme erfährst du, wie man beim Lösen linearer Gleichungssysteme systematisch vorgeht.