Beispiel 7

Aufgabe

Betrachte die Funktionenschar $f_{a}(x) = a^2 x^3 - 6 a x^2 + 9x$ mit $a \in \mathbb{R}^{+}$. Das Applet zeigt einige Graphen dieser Funktionenschar.

Zum Herunterladen: beispiel7.ggb

(a) Zeige, dass man die Funktionsgleichungen der Ausgangsfunktion und der ersten beiden Ableitungsfunktionen auch so darstellen kann.

• $f_{a}(x) = x (a x - 3)^2$
• $f_{a}'(x) = 3 (a x - 1) (a x - 3)$
• $f_{a}''(x) = 6a (a x - 2)$

(b) Bestimme mit Hilfe der Funktionsdarstellungen in Teilaufgabe (a) die Nullstellen sowie die Extrem- und Wendepunkte von $f_{a}$.

(c) Begründe, dass die Wendepunkte von $f_{a}$ alle auf der 1. Winkelhalbierenden liegen.

(d) Zeige, dass die Geraden durch die Extrempunkte von $f_{a}$ immer dieselbe Steigung haben.

(e) Entwickle eine Formel für die Länge $L$ der Verbindungsstrecke vom Hoch- zum Tiefpunkt in Abhängigkeit vom Parameter $a$. Ergänze den Satz: Wenn man $a$ verdoppelt, dann ändert sich $L$ wie folgt: ...