Zusammenfassung – Funktionen mit Parametern
Die Grundidee
Funktionen mit Parametern enthalten neben der Funktionsvariable eine weitere Variable, die das Verhalten der Funktion beeinflusst. Mit dieser zusätzlichen Variablen – man bezeichnet sie als Parameter – gelingt es, eine ganze Funktionenmenge mit Funktionen, die alle eine analoge Struktur haben, zu erfassen. Das ist oft günstig, weil man so Funktionen verallgemeinernd verwenden und untersuchen kann.
Zur Verdeutlichung betrachten wir die Entwicklung einer Population von Blattläusen.
Die Entwicklung einer solchen Population aus Blattläusen hängt von vielen Faktoren ab. Wir modellieren diese Entwicklung hier vereinfachend mit Hilfe von Funktionen.
Im folgenden Applet kann man den Parameter $a$ variieren. Hierdurch entsteht für jedes $a$ ein Funktionsgraph zur Modellierung der Populationsentwicklung. Wenn man den Parameter $a$ vergrößert, dann dauert es länger, bis die Population ihr Maximum erreicht und wieder ganz verschwindet.
Zum Herunterladen: insektenpopulation2.ggb
Die Gesamtheit aller hier benutzten Funktionen zur Beschreibung der Populationsentwicklung bildet eine Funktionenschar. Im vorliegenden Beispiel gilt:
Funktionenschar zur Beschreibung von Populationsentwicklungen
$f_{a}(x) = -x^3 + a\cdot x^2$ mit $0 \lt a \lt 6$
Funktionsuntersuchung bei einer Funktionenschar
Wir präzisieren zunächst das Konzept Funktionenschar
.
Funktionenschar
Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen, die mit einer Funktionsgleichung mit einem Parameter beschrieben werden kann. Der Parameter steht für eine beliebige Zahl aus einer vorgegebenen Zahlenmenge.
Eine Funktionenschar untersucht man völlig analog zu einer einzelnen Funktion. Den Parameter behandet man dabei wie eine Zahl. Für die (etwas verallgemeinerte) Funktionenschar im oben betrachteten Beispiel erhält man folgende Ergebnisse:
Funktionsuntersuchung bei einer Funktionenschar
$f_{a}(x) = -x^3 + a\cdot x^2$ mit $0 \lt a \lt \infty$
Die Funktion $f_{a}$ hat für $0 \lt a \lt \infty$ die Nullstellen $x = 0$ und $x = a$.
Die Funktion $f_{a}$ hat für $0 \lt a \lt \infty$ einen Tiefpunkt im Ursprung $(0|0)$ sowie einen Hochpunkt mit den Koordinaten $\left( \frac{2}{3}a | \frac{4}{27}a^3 \right)$.
Beachte: Mit einer Funktionsuntersuchung bei einer Funktionenschar erhält man Ergebnisse, die für alle Funktionen der Schar gelten.
Eine Ortskurve bei einer Funktionenschar bestimmen
Wir betrachten weiterhin die Funktionenschar aus dem Beispiel oben und fokussieren den Blick auf die Hochpunkte der Funktionsgraphen.
Funktionenschar zur Beschreibung von Populationsentwicklungen
$f_{a}(x) = -x^3 + a \cdot x^2$ mit $0 \lt a \lt \infty$
Hochpunkte der Funktionsgraphen: $H\left( \frac{2}{3}a | \frac{4}{27}a^3 \right)$
Kann man aus der $x$-Koordinate eines Hochpunktes zu einem Graphen der Funktionenschar die zugehörige $y$-Koordinate bestimmen? Das folgende Übersicht zeigt, wie man vorgeht.
- $x = 1$: Wenn $H$ die Koordinaten $H\left( \underbrace{\frac{2}{3}a}_{1} | \underbrace{\frac{4}{27}a^3}_{y} \right)$ hat, dann folgt aus $\frac{2}{3}a = 1$, dass $a = \frac{3}{2}$ gilt. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \frac{4}{27}(\frac{3}{2})^3 = \frac{1}{2}$.
- $x = 2$: Wenn $H$ die Koordinaten $H\left( \underbrace{\frac{2}{3}a}_{2} | \underbrace{\frac{4}{27}a^3}_{y} \right)$ hat, dann folgt aus $\frac{2}{3}a = 2$, dass $a = 3$ gilt. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \frac{4}{27}(3)^3 = 4$.
- $x$ beliebig: $H$ hat die Koordinaten $H\left( \underbrace{\frac{2}{3}a}_{x} | \underbrace{\frac{4}{27}a^3}_{y} \right)$. Aus $x = \frac{2}{3}a$ folgt, dass $a = \frac{3}{2}x$ gelten muss. Setzt man $a = \frac{3}{2}x$ in $y = \frac{4}{27}a^3$ ein, so erhält man $y = \frac{4}{27}(\frac{3}{2}x)^3 = \frac{1}{2}x^3$.
Das Ergebnis $y = \frac{1}{2}x^3$ lässt sich so deuten: Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar liegen alle auf der Ortskurve $y = \frac{1}{2}x^3$. Im Applet erkennt man diese Ortskurve, wenn man den Parameter $a$ variiert.
Zum Herunterladen: insektenpopulation3.ggb
