Ortskurve der Hochpunkte
Zur Orientierung
Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar genauer.
Eine Ortskurve bei einer Funktionenschar bestimmen
Wir betrachten weiterhin die Funktionenschar aus dem letzten Abschnitt und fokussieren den Blick auf die Hochpunkte der Funktionsgraphen.
Funktionenschar zur Beschreibung von Populationsentwicklungen
$f_{a}(x) = -x^3 + a \cdot x^2$ mit $0 \lt a \lt \infty$
Hochpunkte der Funktionsgraphen: $H\left( \frac{2}{3}a | \frac{4}{27}a^3 \right)$
Aufgabe 1
(a) Ergänze erste qualitative Aussagen:
- Wenn man $a$ vergrößert, dann ... sich die $x$-Koordinate des Hochpunkts.
- Wenn man $a$ vergrößert, dann ... sich die $y$-Koordinate des Hochpunkts.
(b) Ergänze die folgenden quantitativen Aussagen:
- Wenn man $a$ ververdoppelt (z.B von $a = 2$ auf $a = 4$), dann ... sich die $x$-Koordinate des Hochpunkts.
- Wenn man $a$ ververdoppelt (z.B von $a = 2$ auf $a = 4$), dann ... sich die $y$-Koordinate des Hochpunkts.
Aufgabe 2
(a) Kann man aus der $x$-Koordinate eines Hochpunktes zu einem Graphen der Funktionenschar die zugehörige $y$-Koordinate bestimmen? Probiere das mit folgenden Werten au:
- $x = 1$: Wenn $H$ die Koordinaten $H(1|\dots)$ hat, dann muss $a = \dots$ gelten. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \dots$.
- $x = 2$: Wenn $H$ die Koordinaten $H(2|\dots)$ hat, dann muss $a = \dots$ gelten. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \dots$.
- $x = 3$: Wenn $H$ die Koordinaten $H(3|\dots)$ hat, dann muss $a = \dots$ gelten. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \dots$.
- $x$ beliebig: Wenn $H$ die Koordinaten $H(x|y)$ hat, dann muss $a = \dots$ gelten. Die $y$-Koordinate ist dann $y = \dots$.
(b) Das Ergebnis aus Aufgabenteil (a) lässt sich so deuten: Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar liegen alle auf der Ortskurve $y = \frac{1}{2}x^3$. Verdeutliche das im Applet. Variiere hierzu den Parameter $a$.
Zum Herunterladen: insektenpopulation3.ggb
