o-mathe | Die Ausgangssituation

Die Zielfunktion

Das Schachtelvolumen mit einer Funktion beschreiben

Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.

Optimierungsproblem optimale Schachtel

Für welche Einschneidetiefe

x

erhält man ein maximales Schachtelvolumen?

Dieses Problem lässt sich mit mit Hilfe der folgenden Begriffe strukturiert beschreiben:

Optimierungsproblem: Optimale Schachtel

Bei einem Optimierungsproblemen geht es (in den hier betrachteten Fällen) darum, eine bestimmte Variationsgröße so zu wählen, dass eine Zielfunktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht. Im aktuellen Beispiel gilt:

Variationsgröße: Die Einschneidetiefe kann variiert werden.
Extremalbedingung: Die Variationsgröße soll so eingestellt werden, dass das Volumen der Schachtel maximal wird.
Nebenbedingung: Die Schachtel wird aus einem DIN-A4-Blatt erstellt, indem an den vier Ecken gleich große Quadrate abgeschnitten und die entstehenden Laschen nach oben geklappt werden.
Zielfunktion: Das Volumen $V (x)$ der Schachtel.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sind die Extremal- und Nebenbedingung hilfreich. Oft hilft es, sich erst Gedanken über die Ausgangsgröße und die zugeordnete Größe zu machen. Hier gilt:

Ausgangsgröße: die Einschneidetiefe $x$ (die variiert werden kann)
Zugeordnete Größe: das Volumen $V (x)$ der Schachtel zur Einschneidetiefe $x$ (das optimiert) werden soll

Das Problem besteht jetzt darin, das Maximum der Zielfunktion zu bestimmen.

Aufgabe 1

(a) Erkläre nochmal, wie man zur Funktionsgleichung $V (x) = (29.7 - 2 x) \cdot (21 - 2 x) \cdot x$ gelangt.

(b) Gib die Definitionsmenge der Funktion $V (x)$ an. Berücksichtige dabei, dass man nur für bestimmte $x$ -Werte eine Schachtel bauen kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $V$ . Diesen siehst du im Applet unter der Aufgabe.

(c) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $V (x)$ aus so darstellen kann: $V (x) = 4 x^{3} - 101.4 x^{2} + 623.7 x$ .

Anleitung für das Applet

Das Applet verdeutlicht die Zielfunktion zum Problem „optimale Schachtel“. Mit dem Punkt

X

im unteren Fenster kannst du die Einschneidetiefe

x

variieren. Im oberen Fenster werden dann die zugeordneten Werte

V (x)

grafisch dargestellt.

Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb

Aufgabe 2

Mit der Darstellung $V (x) = 4 x^{3} - 101.4 x^{2} + 623.7 x$ kannst du jetzt den Hochpunkt von Graph $V$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.

Gleichungstool

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

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