Lösungen zu Übungen – Monotonie von Funktionen
Aufgabe 1
Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$ zur Beschreibung des Höhenprofils einer Achterbahn.
Zum Herunterladen: achterbahn.ggb
(a) Beschreibe das Auf und Ab des Höhenprofils mit Fachbegriffen zur Monotonie.
Die Funktion $f$ ist
- im Intervall $0 \lt x \lt 3$ streng monoton fallend.
- im Intervall $2 \lt x \lt 5$ streng monoton steigend.
- im Intervall $5 \lt x \lt 12$ streng monoton fallend.
(b) Stimmt das? Werden die Fachbegriffe hier richtig benutzt?
- Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x = 5$ ein lokales Extremum. (wahr)
- Der Punkt $(2|1.25)$ ist ein lokales Minimum. (falsch; die Zahl $1.25$ ist das lokales Minimum)
- Das lokale Maximum an der Stelle $x = 5$ beträgt $4$. (wahr)
- An der Stelle $(0|5)$ hat die Funktion ein lokales Maximum. (falsch; es handelt sich um die Stelle $0$)
- Der Punkt $(9|1)$ ist ein Extrempunkt. (falsch; der Punkt ist ein sog. Sattelpunkt)
Aufgabe 2
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründe jeweils.
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 + 1$ ist im Intervall $-\infty \lt x \lt +\infty$ streng monoton steigend. (falsch; $f$ ist im Intervall $-\infty \lt x \lt 0$ streng monoton fallend)
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 1$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Tiefpunkt. (wahr)
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = m \cdot x + b$ ist im Intervall $-\infty \lt x \lt + \infty$ streng monoton fallend. (falsch; für $m \lt 0$ ist $f$ im Intervall $-\infty \lt x \lt +\infty$ streng monoton fallend
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ist im Intervall $-\infty \lt x \lt + \infty$ streng monoton steigend. (falsch; beachte, dass $f$ an der Stelle $0$ nicht definiert ist)
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ hat an der Stelle $x = 0$ ein lokales Minimum. (wahr)
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt. (wahr)
