Zeitliche Entwicklung

Die Geschwindigkeitsentwicklung analysieren

Wir betrachten jetzt die zeitliche Entwicklung von Anhaltevorgängen. Gegeben ist zunächst der Graph zur Zuordnung "Zeit [s] -> aktuelle Geschwindigkeit [m/s]", der einen Anhaltevorgang mit einer vorgegebenen Ausgangsgeschwindigkeit $v_0$ beschreibt.

Zum Herunterladen: v_t_diagramm.ggb

Aufgabe 1

Deute den Graph anhand folgender Fragen.

• Wie kann man die Ausgangsgeschwindigkeit am Graph ablesen?
• Wie lang dauert die Reaktionszeit? Wie entwickelt sich die Geschwindigkeit während dieser Phase?
• Wie lang dauert der gesamte Anhaltevorgang? Wie liest man das am Graph ab?
• Wie groß die die noch vorhandene Geschwindigkeit nach 2 Sekunden?
• An welchem Zeitpunkt beträgt die aktuelle Geschwindigkeit nur noch die Hälfte der Ausgangsgeschwindigkeit?

Aufgabe 2

Die Geschwindigkeitsentwicklung beim Anhaltevorgang wird mit folgender Berechnungsformel beschrieben.

$v(t) = \left\{ \begin{array}{ll} v_0 & \text{falls } 0 \leq t \leq 1 \\ v_0 - 8(t - 1) & \text{falls } 1 \leq t \leq t_A \end{array} \right. $

(a) Erkläre, wie man mit dieser Formel für $v_0 = 40$ aktuelle Geschwindigkeiten bestimmt (z.B. für $t=0.5$, $t=2$ und $t=3.5$).

(b) Warum nutzt die Berechnungsformel eine Fallunterscheidung? Begründe kurz.

Den zurückgelegten Weg betrachten

Bei Anhaltevorgängen interessiert man sich auch für die Zuordnung "Zeit [s] -> Entfernung vom Startpunkt des Anhaltevorgangs [m]". Der folgende Graph verdeutlicht diese Zuordnung für eine vorgegebene Ausgangsgeschwindigkeit $v_0$.

Zum Herunterladen: s_t_diagramm.ggb

Aufgabe 3

Deute den Graph anhand folgender Fragen.

• Wie weit hat sich das Fahrzeug während der 1. Sekunde bewegt?
• Woran erkennt man, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit während der 1. Sekunde nicht verändert hat?
• Woran erkennt man, dass das Fahrzeug irgendwann zum Stillstand kommt?
• Wie lang ist der Reaktionsweg, Bremsweg und Anhalteweg beim gezeigten Anhaltevorgang?
• Wie weit hat sich das Fahrzeug nach 2 Sekunden vom Startpunkt des Anhaltevorgangs bewegt?

Aufgabe 4

Die Entwicklung des zurückgelegten Wegs beim Anhaltevorgang wird mit folgender Berechnungsformel beschrieben.

$s(t) = \left\{ \begin{array}{ll} v_0 \cdot t & \text{falls } 0 \leq t \leq 1 \\ v_0 \cdot t - 4(t-1)^2 & \text{falls } 1 \leq t \leq t_A \end{array} \right. $

(a) Erkläre, wie man mit dieser Formel für $v_0 = 40$ den jeweils zurückgelegten Weg bestimmt (z.B. für $t=1$).

(b) Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $s(t)$ für $v_0 = 40$ (z.B. für $t=0, 1, 2, ...$).

Anhaltewege bestimmen

Mit Hilfe der oben gezeigten Funktionen kannst du jetzt auch die Anhaltewege für vorgegebene Geschwindigkeiten bestimmen. Nutze zusätzlich die Umrechnungsfunktion von km/h in m/s, um die Ergebnisse mit denen aus der Faustformel zu vergleichen.

Zum Herunterladen: box_umrechnung_kmhms.ggb

Aufgabe 5

(a) Bestimme exemplarisch (z.B. für $v_0 = 100 km/h$ und $v_0 = 200 km/h$) den Anhalteweg mit den hier vorgegebenen Funktionen.

(b) Die Faustformel zur Berechnung des Anhaltewegs liefern Werte für "normale" Bremsvorgänge. Beim "scharfen" Bremsen halbieren sich die Ergebnisse. Um welche Art von Bremsvorgang handelt es sich bei den oben vorgegenen Funktionen?

Aufgabe 6

Verdeutliche nochmal die folgenden Begriffe und Zusammenhänge im aktuellen Kontext.

Zusammenfassung