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Würfelvergrößerung

Oberfläche und Volumen eines Würfels berechnen

Wie ändern sich die Oberfläche und das Volumen eines Würfels, wenn man die Kantenlänge des Würfels vergrößert?

Diese Frage soll hier genauer untersucht werden. In der Animation kannst du die Kantenlänge $a$ des Würfels im Bereich von $0$ bis $10$ (in einer beliebigen Einheit, z.B. in Meter) variieren. Angezeigt werden jeweils die Oberfläche $A$ und das Volumen $V$ des Würfels (in der passenden Einheit).

Zum Herunterladen: wuerfel_av1.ggb

Aufgabe 1

Erläutere an einem Beispiel (z.B. für die Kantenlange $a = 4$), wie man die Oberfläche und das Volumen bei einem Würfel berechnet.

Oberfläche und Volumen eines Würfels mit Funktionen beschreiben

Der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge und der Oberfläche bzw. dem Volumen bei einem Würfel lassen sich mit Funktionen beschreiben. Wir betrachten hierzu die Zuordnungen:

A: Kantenlänge [in m] -> Oberfläche [in m\sup{2}]

V: Kantenlänge [in m] -> Volumen [in m\sup{3}]

Zum Herunterladen: wuerfel_av2.ggb

Aufgabe 2

Ergänze Zuordnungsvorschriften für die beiden Funktionen. Nutze dabei die Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines Würfels.

$A(a) = ...$

$V(a) = ...$

Tendenzen verdeutlichen

Anhand der Funktionsgraphen (in der Animation) kann man sehen, dass das Volumen schneller wächst als die Oberfläche.

Aufgabe 3

(a) Folgender Satz soll ergänzt werden:

Wenn man die Kantenlänge des Würfels verdoppelt, dann ... sich die Oberfläche.

Untersuche den Zusammenhang anhand konkreter Zahlenwerte und dokumentiere die Ergebnisse.

(b) Folgender Satz soll ergänzt werden:

Wenn man die Kantenlänge des Würfels verdoppelt, dann ... sich das Volumen.

Untersuche den Zusammenhang anhand konkreter Zahlenwerte und dokumentiere die Ergebnisse.

(c) Wie lassen sich die in (a) und (b) gefundenen Zusammenhänge direkt anhand der Funktionsgleichungen der beiden Funktionen erkennen? Erläutere kurz.

Aufgabe 4

Verdeutliche nochmal die folgenden Begriffe und Zusammenhänge im aktuellen Kontext.

Zusammenfassung

Funktionen nutzt man, um Veränderungen von Größen exakt zu erfassen.

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