Eine Zuordnung
Einen Zusammenhang zwischen zwei Größen herstellen
Jeder weiß, dass der folgende Zusammenhang gilt: "Je größer die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs ist, desto länger ist auch der Anhalteweg." Zur Beschreibung des Zusammenhangs wird hier eine je-desto-Aussage benutzt. Eine solche Aussage liefert nur eine sehr grobe Beschreibung des Zusammenhangs.
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, den Zusammenhang zwischen einer Ausgangsgeschwindigkeit und dem zugehörigen Anhalteweg (bei Bremsvorgängen) möglichst genau zu beschreiben.
Eine Zuordnung zwischen zwei Größen betrachten
Ausgehend von einer vorgegebenen Ausgangsgeschwindigkeit möchte man Aussagen über den zugehörigen Anhalteweg treffen.
Wir betrachten daher die folgende Zuordnung: Ausgangsgeschwindigkeit -> zugehörigen Anhalteweg.
Ziel ist es, diese Zuordnung mathematisch zu erfassen.
Eine Zuordnung mit einer Wertetabelle beschreiben
Mit den Faustformeln aus der Fahrschule kann man für unterschiedliche Ausgangsgeschwindigkeiten die zugeordneten Anhaltewege berechnen und in einer Wertetabelle sammeln.
Aufgabe 1
Erstelle eine Wertetabelle wie unten. Berechne dafür mit den Faustformeln für die vorgegebenen Geschwindigkeiten die Anhaltewege. Trage sie dann in der Tabelle ein. Benutze eine der beiden folgenden Darstellungen.
Wertetabelle – vertikale Darstellung:
| Ausgangsgröße: Geschwindigkeit [in km/h] |
zugeordnete Größe: Anhalteweg [in m] |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 20 | |
| 40 | |
| 60 | |
| ... |
Wertetabelle – horizontale Darstellung:
| Ausgangsgröße: Geschwindigkeit [in km/h] |
0 | 20 | 40 | 60 | ... |
| zugeordnete Größe: Anhalteweg [in m] |
0 | ... | ... | ... | ... |
Eine Zuordnung mit einem Graph beschreiben
Wir veranschaulichen die Zuordnung "Ausgangsgeschwindigkeit -> zugehörigen Anhalteweg" im Koordinatensystem.
Aufgabe 2
Übertrage die Wertepaare aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem. Benutze eine geeignete Skalierung der Achsen. Kontrolliere mit dem folgenden Applet.
Zum Herunterladen: graph_anhalteweg2.ggb
Eine Zuordnung mit einer Berechnungsformel beschreiben
Oft lässt sich eine Zuordnung mit einer Berechnungsformel beschreiben. Die Faustformeln aus der Fahrschule helfen bei der hier betrachteten Zuordnung "Ausgangsgeschwindigkeit -> zugehörigen Anhalteweg".
$\begin{array}{lcl} \text{Reaktionsweg [in m]} & = & \displaystyle\frac{\text{Geschwindigkeit [in km/h]}}{10} \cdot 3 \\ \\ \text{Bremsweg [in m]} & = & \displaystyle\frac{\text{Geschwindigkeit [in km/h]}}{10} \cdot \frac{\text{Geschwindigkeit [in km/h]}}{10} \\ \\ \text{Anhalteweg [in m]} & = & \text{Reaktionsweg [in m]} + \text{Bremsweg [in m]} \end{array}$
Aufgabe 3
Gib eine passende Formel in das Eingabefeld in der Mitte der Box ein. Kontrolliere, indem du für vorgegebene Geschwindigkeiten die Anhaltewege mit der eingegebenen Formel berechnen lässt.
Zum Herunterladen: box_anhalteweg2.ggb
Aufgabe 4
Verdeutliche nochmal die folgenden Begriffe und Zusammenhänge im aktuellen Kontext.
Zusammenfassung
Bei einer Zuordnung zwischen zwei Größen wird jedem Wert einer Ausgangsgröße ein Wert einer zugeodneten Größe zugeordnet.
Um sich einen Gesamtüberblick über eine Zuordnung zu verschaffen, werden die zugeordneten Werte oft in eine Wertetabelle eingetragen. Beachte: Die Ausgangsgröße wird in einer horizontalen Tabelle in die obere Zeile eingetragen, in einer vertikalen Tabelle in die linke Spalte.
Die Wertepaare einer Zuordnung lassen sich in einem Koordinatensystem veranschaulichen. Jedes Wertepaar einer Zuordnung legt dabei einen Punkt im Koordinatensystem fest. Die Gesamtheit aller Punkte einer Zuodnung liefert dann den Graph der Zuordnung. Beachte: Trage die Ausgangsgröße auf der x-Achse und die zugehörige Größe auf der y-Achse ein. Benutze eine Skalierung, die zu den zu veranschaulichenden Werten.
Die Wertepaare einer Zuordnung lassen sich oft auch mit einer Zuordnungsvorschrift in Form einer Gleichung. Wenn man in die Gleichung für die vorkommende Variable einen Wert einsetzt, erhält man den zugeordneten Wert.
Eine Zuordnung (bzw. einen funktionalen Zusammenhang) kann man also auf unterschiedliche Weisen darstellen:
- tabellarisch mit einer Wertetabelle,
- geometrisch mit einem Funktionsgraph,
- algebraisch mit einer Funktionsgleichung.
